Si dans le dévelop(X)inent

w =• Il + it> = Ao 1- .4, (2— c) -I- /l, -i- •••,

on sépare le réel de fimaginaire, en faisant

1 = B -h i C , : — c = re'^ ,

ir II * ’ ’

on obtiendra le développement de la partie réelle « de tv sous la forme

U = - 1 - B, r cos P + «,»•* cos tp + ■■■

— C, r sin P — C, sin 2 p

En un point du contour de (£, pour r = li, cette valeur deviendra

«„ = Bo \ B^Rco&p I BJi’ms'ip -i- •••

— sin P — C, fl* sin 2 /)

Héciproquement, si l’on connaît la valeur n, de u en tout point du contour de C, on aura la valeur de n en un point quelconque ; = c -h rc*'' de l’intérieur du cercle, en multipliant les termes du

développement de »o par les puissances correspondantes de ^ •

Les conditions auxquelles satisfit iv sont remplies également par la partie réelle u. Ainsi ü existe une fonclioii réelle u de x et de y satisfaisant aux conditions suivantes :

I. Elle prend le long de la circonférence du cercle (C la même suite de valeurs qu’une fonction donnée ii„ , continue en chaqtie point de cette circonférence;

II. En tout point de l’intérieur du cercle, elle est continue, ainsi que toutes ses dérivées partielles;