Si nous supposons remplies les conditions (2), posons

(4) d’où

■ Üv,

D^«’= A'+iF,

= — Y -h iX = iü^w J

dw = (X +iY) dv+(—Y+ iX) dy = {X+ iY) {dx + idy) = {X+iY)dz.

Donc la dérivée totale a pour valeur

et par conséquent on a du

dw

— X+iY,

= D w = -, D ti:

riz ^ t y

107. La dérivée-^y , donnée par l’équation (6), est elle-même

nES OUANTITfiS COMPLEXES. 73

une fonction de z. En effet, d’après les équations (4), on a

DA'= DDt)= DF,

D F=— DDh = — D X,

et ce sont là les conditions pour que A' + iY soit une fonction de z = x-{- iy.

11 en est de même, en vertu des équations (7), des dérivées partielles de w par rapport à a: et à y.

Donc, si tv est une fonction de i — a; + iy, toutes les dérivées, totales ou partielles, de cette fonction seront aussi des fonctions de z = x+ iy.

Hetnarque. Il est facile d’exprimer toutes les dérivées partielles des fonctions t< et v, prises par rapport à x et à y à la fois, au moyen de dérivées prises par rapport à une seule de ces variables. En effet, de l’équation (3), à laquelle u et u satisfont, résulte la formule symbolique

d’où

dI" = (- 1)" d]* .

Donc

Ensuite, en vertu des équations (4),

On peut ainsi tout ramener à des dérivées de « ou de v prises par rapport à une seule des variables, à x, par exemple.

Comme d’ailleurs, d’après la formule (7),

il s’ensuit de là que toutes les dérivées partielles de n ou de v se ramènent à la partie réelle ou à la partie imaginaire de la dérivée totale de même ordre de w par rapport à r.

THÉoniE ÉLÉMENTAniE

108. Supposons que la variable : soit elle-môme une fonction d’une autre variable ç = | -f in, de sorte que l’on ait

Toute fonction w = /(z) de z sera aussi une fonction de ç. On a, en effet,

= r(z). DjZ , = f'{z) . D^z,

d’où, en vertu de l'équation (1), à laquelle z = ^(Ç) satisfait.

üji; ( D w = /'(;) (D.Z H- i I) z) = 0 .

Donc w, considéré comme fonction de i et de r„ satisfait aussi à l'équation ( I); c'est donc une fonction de ^ H- ir,.

.Autrement, on a, quel que soit dz,

div — f'(:)(lz .

Ur, I étant une fonction de Ç ,

'f- = r'(ç)dç,

dw = f'{z)f'{ç)d!;, d’où

d>V iV , V , , N

quantité indépendante de la direction de d>;.

109. L’équation (6) exprime une relation {géométrique remarquable entre les points du plan qui représentent la fonction tv et la variable indépendante z. Si l’on représente les différentielles de z et de U) par

dz ~ ;.e^ , dw = ,

l'équation (Ü) donne

= X+iï,

d’où, en égalant de part et d’autre les modules et les arguments.

Z— ? = arcUng ^ .

On voit par là que, dz et dw étant deux accroissements infiniment petits simultanés de la variable z et de la fonction w, le

rapport des modules — et la différence des arguments y — y de

ces accroissements ne dépendent pas de ou de dz, mais seulement de la position du point z lui-rnème.

Donc, si 2z, , zz, sont deux accroissements infiniment petits de *’’■ z, et w’u,', , mv, les accroissements

correspondants de w, les deux trian- I gles 21, r, , ww,w, seront toujours directement semblablcit.

Si z décrit un contour infiniment petit quelconque, te^décrira un contour directement semblable.

Ainsi deux figures quelconques formées l’une par un système de |K)ints z, l'autre par le système des points te correspondants, sont semblables dans leurs éléments infiniment petits {‘).

Continuité et discontinuité des fonctions.

liO. Une fonction d’une seule variable réelle x,

f[x)= f,{x) + if. (X),

est dite continue dans le voisinage de la valeur x, lorsque la différence

df(x) = f(x + dx)-f{x)

est infiniment petite en môme temps que dx. Dans le cas contraire, la fonction est dite discontinue.

De même, une fonction f{x,y) de deux variables réelles est dite

n l'uÿ. SiEDECK, Ueber die graphische Varstellung u. s. w. {Crelk's Journal, tome LV).

TMÉORIH ÉLÉMENTAIRE

continue dans le voisinage du point {x,y), toutes les fois que la différence

= f{x + dx,y + dy) — f{x,y)

est infiniment petite, quels que soient les accroissements dx,dy, pourvu qu'ils soient l’un et l'autre infiniment petits. Dans le cas contraire, la fonction est discontinue.

lit. Une fonction ( (z) d’une variable complexe z—x+iy, étant un cas particulier d’une fonction de deux variables réelles, sera continue lorsque la différence

df{z) = f{z-\ dz)-fiz)

sera infiniment petite en même temps que dx et que dy, et par suite en même temps que le module de dz, ou que dz lui-même.

D’après cela, f (:) variera d’une manière continue entre deux limites données Zt,,Z, lorsque, : passant de la position Zo à la [xisition Z par un chemin de forme quelconque, pourvu qu’il ne présente aucune interruption, les valeurs de f (:), correspondantes à deux positions consécutives de z sur le chemin donné, sont infiniment voisines. Nous ne considérons comme infiniment voisines que deux positions de z séparées par un arc infmimeid petit du chemin donné : nous verrons plus tard que l’on peut avoir lieu de ne pas regarder comme telles deux positions de : prises sur deux branches différentes d’une courbe qui se coupe elle-même, bien que ces deux positions puissent être séparées par une droite infiniment petite .

112. Une fonction [leut être discoiiliuuc de plusieurs manières, soit en passant brusquement d'uiio valeur finie à une valeur finie différente, comme cela a lieu pour la fonction représentée par l’ordonnée d’une courbe qui offre un point de rupture, ou encore pour les fonctions représentées par certaines intégrales définies ; soit en devenant infinie pour certaines valeurs de la variable, comme les fonctions

qui deviennent infinies pour j = c.

DES OIANÎITKS COMPLEXES.

c, pour lequel la fonction f{c) devient inflnie,

Un point :

s'appelle, pour abréger, un infini de cette fonction; de même qu’un point pour lequel la fonction s’annule est dit un zéro de cette fonction.