III. Elle vérifie l’équation aux dérivées partielles
' ' Xi
19"i. Celte fonction u, ijuc nous venons de déterminer, est la
DES QUANTITES COMPLEXES.
seule qui satisfasse aux conditions du numéro précédent. En effet, reprenons l’intégrale double déjà considérée aux n“ 137 et 180,
et soit, s’il est possible, une autre fonction U, satisfaisant comme u aux conditions I, Il et III. Nous pourrons représenter cette fonction [wr U + 9 , 5 étant une fonction différente de zéro dans tout l’intérieur du cercle, mais s’annulant en tout point de la circonférence, en vertu de la condition 1, à laquelle les fonctions n et u -t- 0 sont supposées satisfaire l’une et l’autre.
De plus, d’après la condition II, 9 sera continue, ainsi que toutes ses dérivées. Enfin, d’après la condition III, on devra avoir
Cela pose, en fiiisant le môme calcul qu’au n“ 137, on trouvera tl(e) = — D^9(te),
quantité nulle, puisque 9 a la valeur constante zéro tout le long du contour de C.
De la condition û (9) = 0 il résulte, l’élément de celte intégrale ne pouvant être négatif, que l’on a
d’où il s’ensuit que l'on aura en tout point de l’intérieur du cercle
et par suite
6 = constante.
Enfin, cette valeur eonslante elle-même doit être nulle, puisque 9 = 0 tout le long du contour. Donc la fonction u, déterminée au numéro précédent, est la seule fonction uniforme qui satisfasse aux conditions I, II et III.
La démonstration précédente subsisterait encore dans le cas où l’on substituerait au cercle C une aire quelconque à connexion simple.
193. Ü (9) sera nul toutes les fois ijuc D, 9 et D, 9 le seront eu
HO
THÉOniK f:l,ÉMENT,MliK
chaque point du cuiitour, c’est-à-dire toutes les fois que la fonction 0 aura le long de ce contour une valeur constante. On en conclura alors que 5 sera aussi constant dans tout l’intérieur du cercle, et par suite, si 0 est la partie réelle d’une certaine fonction w de a; 1-ii/, cette fonction elle-niéine (n® 137) se réduira à une constante dans toute l’étendue de l’aire circulaire. Ainsi une fonction de z, uniforme et continue dans un cercle donné, ou plus généralement dans une aire donnée quelconque à connexion simple, se réduit à une constante toutes les fois que la valeur de sa partie réelle reste constante tout le long du contour de l’aire.
194. Supposons maintenant que la fonction ic doive être finie et continue pour toute valeur de z, c’est-à-dire dans toute l’étendue de la sphère. Prenons pour aire 21 la sphère entière moins un cercle infiniment petit de centre quelconque c. La fonction étant continue dans le voisinage de c, sera constante le long de la circonférence infiniment petite qui forme le contour de l’aire. Donc elle sera aussi constante dans tout l’intérieur de faire, c’est-à-dire dans toute l’étendue de la sphère.
Nous sommes ainsi ramenés au théorème du n® 180.
195. La fonction unique u, qui satisfait aux conditions I, 11 et 111 du n® 190, jouit, de plus, de la propriété de rendre minimum l’intégrale double
lorsqu’on prend pour U toutes les fonctions uniformes et continues qui satisfont seulement à la condition I, c’est-à-dire qui prennent la valeur le long de la circonférence du cercle <£.
En effet, comparons les valeurs que prend 12 (U) lorsqu’on y remplace successivement U par la fonction u satisfaisant aux conditions! et II, et par une fonction quelconque prenant également le long du contour la valeur Uo, et que nous pourrons représenter jwir
Ml 0,
5 étant une fonction réelle (|uelconquc, uniforme et continue à fin- U'ricurdcC, et s’annulant huit le long du contour de C. Les
I)F,S QI'ANTITK.S i;OMI«I.KXKS. 1^1
dérivées de 0 seront continues (n" 147}. ün trouve, en développant, Q(« + 0) = y j [(D^«)' + (DjfO’jrfxdj/
-^-^f [D^« -I \)^uü^B]dx(ly + j [(D,fj)’4 (D^6)’] dxdy
= ü(ll)-4 Q(6)^ 2 f I 1D,«I)^0 I n,«n,o] (/.n/ÿ.
Or, à cause de
IV6.D,«)= D,«ü, Di».
on a, par la Ibrmule (1) du n" 125,
I I 1 Dj » Dj 6 I 'J ■ Dj »] = / 6 . D, U (/y ,
et de même, par la formule du n° 126,
J y [ Dj M Dj 6 ^ 0 . DJ M ] dxdy = — j b.D^ ud.v.
Donc
jy [D,«D,e -I D^nD^ej dxdy
=J' '){\)jUdy~-h^ndx) — J j (Di« + DJfAsrf.rrfv-
Or, les intégrales du second membre sont nulles, la première parce que 6 s’annule tout le long du contour, la seconde par la même raison et aussi parce que h satisfidt à la condition III. Donc on aura simplement
U(« -t- O) — U(«) 4- tl(0).
12((/) ne peut être négatif. Donc, tant que !i(&) ne sera pas nul, on aura toujours
On aura
Il (h i- i) = 11(m)
dans le seul cas où U (0) sera nul ; mais alors, d'après ce que nous avons vu, 9 devra lui-môme s’annuler, et u -H 5 se réduira ù «.
Donc, parmi toutes les fonctions U qui satisfont aux conditions I et II, celle qui donnera pour 12 (u) la valeur minimum sera la fonction unique qui satisfait à la condition lii.
THftolllK f;l.f:MENT.UhK
C’est d’ailleurs le seul minimum dont l’intégrale ü(ï/)soit susceptible. Car, si l’on part d’une valeur quelconque il{V) = û (it 0) = Ü (il) -I- ü(0), et que l’on remplace 0 par hO , h étant une constante moindre que l'unité, on aura
- ü(Ae) = /(’üt5),
et par suite
ti(« + // 6) = U (?<) +/(• U(6) < ü(w + 0).
Donc V r=u + 'j ne peut donner un minimum de lî (U), si ce n’est |K)ur 5 — 0.
196. Passons maintenant au cas général où l’on considère non plus l’aire d’un cercle C, mais une aire quelconque 21 à connexion simple. Soit toujours U une fonction de .r et de ;/, continue dans toute cette aire, et prenant le long du contour de l’aire une série de valeurs données, représentée par i/„.
L’intégrale
^K{U) = f f [(D,f/)> + Ü^Uy] dxdy,
étendue à tous les éléments de cette aire, ne jæut devenir négative. Parmi les formes, en nombre infini, que fon peut attribuer à la fonction l\ il doit en exister une qui rende celte intégrale minimum. Désignons par u cette détermination particulière de V, que l’on peut supposer obtenue par un moyen quelconque.
Cela posé, traçons à l’intérieur de 21 un contour fermé quelconque, qui partage faire 2l’en deux parties, fune annulaire et extérieure 0, l’autre intérieure et à connexion simple C. Imaginons que dans toute faire annulaire Q on attribue ù la fonction U la valeur déterminée u, et que dans la partie intérieure C on laisse U indéterminé.
D’après la supposition de la continuité de U, cette fonction devra prendre, le long de la ligne de séparation des aires 6 et C, la même série de valeurs que la fonction n, sans quoi il y aurait discontinuité en passant d’un côté ù l’autre de celte ligne. De plus, cette fonction U sera encore assujettie à suivre dans fintérieur de <C la loi de continuité.
L’intégrale (T) se composera de deux parties ; fune Qg (U)
llKS Ql ANTITftS f.nSIPl.KXKS. 143
= lig {«), qui csl délerminéeet constante, l’autre dont la
valeur variera avec la forme de la fonction U. Donc la valeur totale
U J, {U) consi. + (IJ)
ne pourra être minimum qu’autant que Ü^{U) le sera, c’est-à-dire qu’autant que l’on aura choisi pour V la forme qui rendra (11) minimum.
Or, par hy[X)thèse, on aurait la valeur minimum ii {U) en faisant U = u, non seulement dans 0, mais encore dans l’outre partie (C de Donc la fonction u est celle qui rend aussi minimum l’intégrale üj(r) parmi toutes les fonctions qui ont sur le contour de C la même valeur que n.
Soit pris maintenant pour C un cercle de centre c, compris tout entier dans 21. l’armi toutes les fonctions imaginables qui ont sur le contour de C la môme valeur que n, celle qui rend l>^ (U) minimum est la fonction qui remplit, à fintéricur de ce cercle, les conditions II et 111. Ainsi, cette dernière fonction est celle que l’on doit prendre en tout point d’un cercle tracé du centre c à l’intérieur de 21. Si nous déplaçons maintenant le centre c, comme au n° 151, nous finirons, de proche en proche, par embrasser successivement tous les points de faire 2t.
Donc, {x,y) dcsiynanl un point quelconque d’une aire à ronnexion simple 2t, parmi toutes les fonctions réelles de x et de y, qui prennent sur le contour de 21 une meme suite donnée de râleurs, et qui restenl continues à l’intérieur de 21, il en existe une u, qui rend minimum l’intégrale
iî a (^^) = / [ (D. '0* + (D, l’y] drdy ■
et cette fonction u jouit des propriétés suivantes : i” elle est continue, ainsi que toutes ses dérivées partielles, à l’iqtérieur de 21/ 2° elle vérifie en tout point de 21 l’équation aux dérivées partielles
197. Si l’on suppose maintenant que u soit la partie réelle d’une fonction M-t-it'de z — .r-|- iy, on aura (n" 102), en intégrant
I HKIIIIIK KI.ÊMKNTAIRK
entre deux points : de l’aire 21, et prenant pour cliemin d'intégration une courbe quelconque tracée à l’intérieur de 21,
P = I ~ n^u(lj-) H- consl.
La quantité sous le signe y' étant une différentielle exacte, l’intégrale sera indépendante du chemin parcouru (n“ 130). Donc e sera, comme u, une fonction uniforme de r et de y.
De plus, la valeur de dv donne
Donc (n" 102) u -t- iv est une fonriion de z = x-\- iy, uniftmne et continue à rinlérieur de 21, dont la partie réelh u prend le long du contour de 21 une suite de valeurs données, et dont la partie imaginaire iv peut prendre en un point quelconque de 21 une valeur donnée.
Enfin, la fonction a l- iv qui satisfait à ces conditions est unique.— Car, si l’on remplace u -l- je par(u-t- iv) (u -H iu), l" J 4 - w devra être une fonction de x -j- iy, uniforme et continue dans toute faire 21 ; 2"' y devra s’annuler tout le long du contour de 21; 3” y prendra la valeur zéro en un certain point de 21. Puisque J est nul tout le long du contour de 21, fintégrale
est nulle. Donc (n° 137) -j i- iu se réduit à une constante. Cette constante est nulle, puisque u s’évanouit sur le contour, et ic au point Donc la fonction v ]- iv est la seule qui puisse satisfaire aux conditions ci-dessus.
Remarque. Les recherches précédentes reposent sur le principe, admis comme évident, que, parmi toutes les fonctions f’qui satisfont à. des conditions données dans une aire donnée, il en existe une qui rend l’intégrale ü(/’) minimum, et nous avons vu que c’est celle qui satisfait à une équation aux dérivées partielles, analogue à celle du potentiel. Ce princiiM^ a été employé par Lejeune- Dirichlet dans ses Leçons sur faction des forces qui agissent en raison inverse du carré de la distance, et pour celle raison, lliemann lui a donné le nom de principe de Diricidet.
