Supposons maintenant que la fonction à déterminer ne
iiKS (Ji;axtitiïs iiomplexks.
soit plus assujettie à rester toujours continue à l'intérieur do 21, mais qu’elle puisse présenter des infinis de première espèce. Ses dérivées étant infinies pour les mêmes points, l'intégrale
J Ja
(i)^uy]dxdÿ
sera cllc-méme infinie, et ne |X)urra plus être employée.
Dans ce cas, Riemann emploie, au lieu de cette intégrale, la suivante,
W = f [(D, « - + (D^« + !),?)•] dxdy ^
prise encore dans toute l’étendue de l’aire 21- Celle expression s’annule (n“ 102), toutes les fois que a -H est une fonction de z — x + iy.
Soit maintenant it une fonction de x et de y qui ait les mêmes infinis c, c', ... que la partie réelle a de a +t^, et qui en ces points prenne une valeur différant de celle de a d’une quantité finie, c’est-à-dire telle que lim, ,.(u — a) ait une valeur finie en chaque point r. Nous dirons dans ce cas, pour abréger, que la fonction u devient infinie de la même manière qtte a.
Cela posé, si l’on fait
la fonction ft sera finie et continue dans tout l’intérieur de 21, et il en sera de même de toutes ses dérivées,
D tt=D H — D« = D U — D (5,
Donc
O (n) = f f [ -Dy|5)* + (Dj^n + D^j5)‘] y,.yy
aura une valeur finie.
Si Ton applique à la recherche de la fonction u, ou, ce qui revient au même, de la fonction it qui rend celte intégrale minimum, le même calcul qu’au n“ 195, on verra que l’intégrale sera rendue
tu
THfinniK ftl.^MENTAinE
niinimum pnr la fonction u qui satisfait à l’éqnation aux dérivées partielles
DiiJ + DJn = 0.
L’existence d une fonction ^i. et d’une seule entraîne l’existence d'une fonction u et d’une seule.
Si l’on considère maintenant u comme la partie réelle d’une fonction de x + iij, l’autre composante v sera déterminée, à une constante près, par l’équation
d (i-— P) = — (D^u + D^|5)dr 4- (D^m—
Donc wjie fonction te = « + iv d’une variable complexe est déterminée dans F étendue iTune aire à connexion simple, lorsqu’on donne : 1“ la suite des valeurs de u le long du contour de 21 ; 2" la valeur de v en un point quelconque de 21/ 3® une fonction a + t'3 qui ait les 7némes infinis que w et qui devienne infinie de la même manière.
199. Soit m + in une fonction quelconque, non de a; -t- t'y, mais simplement de x et de y; et supposons que dans l’aire 21 cette fonction ait les mêmes infinis cl soit infinie de la même manière qu’une fonction a q- t ^ de x + iij. Les expressions
seront alors finies en tout point de 21, et il en sera de même de l’intégrale
Q(tn) = J j [(D^»n— D|^n)' + (D^»i-t-D^n)*](/j;rfy.
Si maintenant a désigne une fonction de x et de y, qui reste finie dans 21, et que nous posions
u sera infini de la même manière que m et par suite que a. Donc Ü (h) sera fini, et deviendra minimum lorsqu’on prendra pour « la fonction qui satisfera à l’équation
(1) D’h4-DJ« = 0.
La fonction m, ainsi déterminée, pourra être prise pour la partie
DKS Qt'ANTITf S COMPl.EXES.
réelle d’une fonction dea:+ t;/. On peut donc déterminer ude façon que u — in H- p, satisfaisant à l’équation (I), prenne la même valeur que m le long du contour de ^,’etsoit, à l'intérieur de 21, infini de la même manière que a, et nous avons vu que cette détermination est unique.
On a ensuite, comme précédemment,
d (r — n) = — (I)^ M + n) dx + (D^ti — «) dij ,
les coefficients de dx et de dy étant finis en tout point de 2i, ot l’on voit aisément que la fonction v ainsi déterminée remplit les conditions du n" 402. Si donc on pose la dilférenticlle du second membre = «iv, on aura
et par suite, en ajoutant à m + in la fonction finie et continue
[X + iv ,
(w + in) + (u + iy)
deviendra une fonction de a; + iy, dont la partie réelle aura les mêmes valeurs que m le long du contour de 21. fia fonction v renfermera une constante arbitraire, que l’on déterminera si l’on connaît la valeur de v en un point de l’aire 21.
On peut se servir de ce calcul pour déterminer la fonction w = u + iv. Comme on peut choisir les fonctions m et n d’une manière entièrement arbitraire, on pourra, faire ensorte qu’à l’intérieur de contours infiniment petits tracés autour des infinis que doit avoir w, la fonction m -+- in prenne les mêmes valeurs que la fonction donnée a -t- j’^, qui doit être infinie de la même manière que w ; qu’en dehors de ces contours elle reste toujours finie et continue, et que sur le contour de 21 la partie réelle m prenne les valeurs données pour la partie réelle de w. Alors Q (m) sera identiquement nulle à l’intérieur de ces contours, et sera finie dans tout le reste de l’aire 21. En ajoutant à wi m la fonction u -t- iv, on obtiendra une fonction w de z, et comme le changement de m d- in en une fonction de z ne peut se faire que d’une seule manière, w sera déterminé à une constante près, renfermée dans v.
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