S IV

200. Supposons, comme au n“ 180, la sphère partagée en deux calottes ; l’une 21 contenant tous les infinis de la fonction qui sont, sur le plan horizontal, à des distances finies de l’origine; l’autre 21' ne contenant pas d’autre infini que le point 0', s’il en est un.

L’intégrale^. I f{z)dz sera le résidu intégral de la fonction

ZttI ^

relativement à l’aire 21. L’intégrale

(en ayant egard au changement de signe indiqué au n® 180) sera

le résidu de la fonction ^ ^('^) ■’^lativement au point O' , c’estè-dire Ù 3 ' = 0ouà 3 = 00.

Or les deux intégrales, prises le long de la môme ligne de séparation des deux calottes et en sens contraire, sont égales et de signe

contraire. Donc te résidu intégral relatif à tous les infinis

de la fonction autres que : = 00 , est égal, au signe près, au résidu

de la fonction f relatif à i' = 0,

Si 3 '. -pr f “ f = 2 /’(:) a une limite nulle

ou lime F pour : = 0 ou pour z = 00 , on aura alors, dans le premier cas, (L f{z) = 0, et dans le second c, f{z) = — F.

201. Supposons, par exemple, que l’on se propose de calculer le résidu intégral d’une fonction rationnelle

f(;) et F{z) étant deux polynômes entiers, de degrés m et 11 , savoir,

On tire de là

li. + h,

Soit maintenant

H - III — 'i=. — ji.

On pourra, par la simple division, mettre la fraction

-I- Il ,

sous la forme