IU

bi, étant une quantité qui ne devient pas infinie pour z' — 0. II vient alors

En intégrant maintenant les deux membres le long du contour de 21', comme au n° 141, il vient, le résidu de u, étant nul.

Donc

Pour

H — Hl — 2 = — t , OU K = W f 1 ,

on a

Cette valeur n’est autre chose que la valeur de — zf{z) du numéro précédent. Pour

H — m— 2 ^ 0, ou n^m + 2,

le résidu intégrai est nul. On a alors, en ctfet, lim^ zf(z) — 0.

THËOniE ËLËHENTAIHE

La fonction

devenant infinie d’ordre — {n—m — 2) — fi

jK)ur z' — 0, le résidu aura pour expression gcnérale(n° 168), en supposant m — »! + 1 > 0 ,

,Üi)'

202. Ce que nous avons dit de l'évaluation des indices d’une fonction aux points où elle devient nulle ou infinie, s’applique également à la valeur 3 = oc , comme on peut le voir en transformant cette variable, et rapportant la fonction au plan antipode, auquel eas on a à considérer l’indice d’une fonction de z' pour z' = 0.

Soient maintenant c, , c,, ... tous les zéros et les infinis de la fonction dans toute l’étendue de la sphère, y compris, s’il y a lieu, le point 0' ; n, , n, , . . . leurs indices respectifs, positifs ou négatifs.

Partageons la sphère en deux calottes 21, contenant chacune une partie des points c, savoir ; l’une les points c,, c, y

compris le point 0; l’autre les points c', , c',, ... , y compris le point 0'. En transportant ces points, les premiers sur le plan horizontal, les seconds sur le plan antipode, nous aurons (n° 171)