APPLICATIONS DES THÉOHIES PRÉCÉDENTES

Détermination du nombre des racine.'! d’une éifuation comiirises dans une aire donnée.

203. Nous avons vu (n“ 172) que, dans l’étendue d’une aire l’excès M du nombre des zéros d’une fonction uniforme {(z) sur le nombre de scs infinis est égal au résidu intégral de la fonction D, log f{t) relatif à l’aire 21, c’est-à-dire 5 l’intégrale

Désignons par la caractéristique A l’accroissement d’une fonction non uniforme, représentée par une intégrale, lorsque cette intégrale est prise tout le long du contour de 21. D’aprt-s cela, en représentant par Zo la valeur de la variable : eu un point du contour, par la valeur de la variable au même point, lorsqu’on a fait croître son argument de î-, de sorte que

= re'7 , s , = rc‘ >

et par Fo, F, les valeurs correspondantes de la fonction multiforme F{z), on aura,

r flF= - Fo.

On trouvera ainsi, en particulier,

/ -/ = log -^ = 4 log/',

et de plus

I = log i log; = 2r».

Donc la valeur de l’indice intégral relatif à faire 21 [Hiurra so mettre sous la forme

A log f A log :

DES QLAXTITÉS COMPI.EXES. 153

Celle expression de la différence enlre les nombres de racines des équalions

a reçu de Cauchy le nom de compteur logarithmique.

204. Supposons, par exemple, que f soil un polynôme cnlier du degré n,

11 esl clair que l’cqualion /"= oc ne pcul avoir de racines finies. Donc la somme M ne conlienl aucun indice négatif, et par suite elle est égale au nombre des racines de l’équation f =Q. Prenons pour % un cercle de rayon aussi grand que l’on voudra. Nous aurons

log /■ = n log 0 + lüg ^ a. -1-

en désignant par x une quantité qui ne devient pas infinie pour

!i\o^f—n. ilog ;+ i log 4 - ^

d’où

A log 2 4 log 2

Or, pour 2 assez grand, le module de 4* devient inferieur à celui

de Oo, d’où il suit que log reprend sa valeur primitive,

lorsque z a parcouru la circonférence entière (’).

(') Soil , en ofTet, nioil 4 < * > T ~

4 log (u + ») = A log U 4 log ( 1 -t- -"4 .

1 4--— =1 1 + re'^ = pc'? .

I +rco3/)=pcosy-

Donc

et par cons<k|ucnt

IHÊOfilE ELENENTAIBE

A log -h ^ '08 «. = •

A log/'

A log Z

L'équation /■=. 0 a donc n racines. Nous obtenons ainsi une nouvelle dcinonslration du théorème établi dans la Première partie (pages 46 et suivantes).

205. On [Kîul énoncer d’une autre manière le théorème du n» 203. Soit

d’où

f(z) = U-*- iv = Re'‘\

U = H cos , t! = It sin P,

= col P.

Lorsque la variable ; a fait le tour de l’aire 21, [{i) reprenant sa valeur, \ogf{z) a crû d’un multiple de 2 ri, et nous avons vu que cet accroissement A log/'(z) est égal à 2rt 3/ multiplié par l’excès M du nombre des zéros sur le nombre des infinis.

Il s’ensuit de là que

\ogf(z) — loëH+ iP

croit de ’iMr.i, et par conséquent l’argument P croit de 2Af-.

Puisque r csl < 4, I - 4 - rcus {> sera toujours positif, ainsi que cos Donc, l'argument y de 1 -t- ne croit pa.s d'une circonférence , et par suite log ^4 + reprend sa valeur [iriinilivc, après que i a parcouru le contour do Donc

A log ^1 -t- -^) = 0 , A log (u -t- ») =: A log U.

On peut donc, dans la soniinu u + c, négliger la partie i> dont le module est constamment <‘mod u.

«ES QOA.NTITÉS COMPLEXES.

Considérons maintenant (f>g. 32) une droite indéfinie dans les deux sens, mobile autour du centre du cercle sur lequel se mesurent

les angles, et tournant dans un sens quelconque. Chaque fois que l'une ou l'autre des directions de la droite passera par le point A, la droite ayant

décrit un angle P = -j + Ar, la cotangente de cet angle P, représentée |iar la ligne AC, s'annulera. De plus, elle s'annulera en passant d'une valeur positive à une valeur négative, si à ce moment l'angle P va en croissant, et, au contraire, elle s’annulera en passant d’une valeur négative à une valeur positive, si l'angle P va en décroissant.

Si à la fin du mouvement l’angle P a repris sa valeur primitive, la droite OC aura dû passer par le point A autant de fois en allant do droite à gauche qu'en allant de gauche à droite. Si l’angle P a crû de r., OC aura dû passer par A une fois de plus en allant de droite à gauche que de gauche à droite. Si l'angle P a crû de 2 Af-, OC aura passé 23/ fois de plus par A de droite à gauche que de gau- > che à droite. Donc cot P se sera annulée 2 3/ fois de plus en passant du positif ou négatif qu'en passant du négatif ou positif.

Donc, lorsque l’argument P de f{z) croîtra de %Mt., la quantité

— = cot P

s'annulera 23/ fois de plus en passant du positif au négatif qu’en passant du négatif au positif.

Si donc on pose

et qu’en faisant jKircourir à z le contour entier d'une aire 21, on compte combien de fois le rapport s'annule en passant du positif au négatif, et combien de fois il s’annule en passant du négatif au positif, V excès du premier nombre de fois sur le second sera double de l’excès du nombredes racines de l'équation f{z) = 0 comprises dans l’aire 21 sur le nombre des racines de l'équation /■(:) = 00 comprises dans la meme aire.

Si la fonction f{z) n'a aucun infini à l'intérieur de 21, l’excès en

question sera précisément égal au double du nombre des racines de l’équation /(j) = 0 contenues dans Faire 21-

206. Soit, en particulier, une fonction entière et rationnelle

f{z) = fl, ^ a,

Cette fonction ne deviendra pas infinie pour des valeurs finies de Prenons pour contour un cercle de rayon infini r. Le premier terme fl, s" deviendra infiniment grand par rapport ù la somme des autres, et l’on pourra poser

/■(;) = fl, -1-0,

c étant infiniment petit.

Soit maintenant

fl, =

On aura, à des quantités près infiniment petites par rapport à celles que l’on conserve,

« = À r” cos (»«;/ -i- 0) , f = X r" sin {mp 6),

d’où

= cot (wp -1 0) , à un infiniment petit près.

Si maintenant s fait le tour du cercle, p croîtra de 2-, et mp + 5 de 2m-. Donc cot(mp -t-5) s’annulera 2m fois en passant du positif au négatif, sans jamais s’annuler en passant du négatif au positif. Donc, l’équation f{z) = 0 a m racines dans l’intérieur du cercle infini.