Pour déterminer la ditfércnce v — v entre le nombre de

fois y que — passe en s’annulant du positif au négatif et le nombre de fois y' qu'il passe du négatif au positif, tandis que z parcourt le contour de 21, Sturm a fait connaître le procédé suivant, qui est une extension de celui qu’il avait donné pour le cas des racines réelles.

Prenons pour contour de 21 une ligne qui se conuxise de parties r,C' ,..., sur chacune desquelles a,' et»/ soient exprimées en fonctions rationnelles d’une troisième variable /. Pour chaque partie, u et v seront exprimés également on fonctions rationnelles de t, de sorte

IIKS 01 ANTITftS |■.nMPI.EXES.

ir>7

il U

que le rapport — se changera clans le rapjiort — de deux fonc ■

lions entières de t. Le problème se ramènera alors à trouver la différence v — •/ pour chacune des parties C du contour. La somme de toutes cos valeurs donnera le nombre ‘i M.

Divisons maintenant U ]iar V; soit — V’, le reste de la division. Divisons de même V par T, , et soit — T, le reste de la division , et ainsi de suite ('). On finira par arriver à un reste constant — V^. Car U et V, ne s’annulant pas à la fois sur le contour, n’ont pas de facteur commun. Soient maintenant, dans le sens du mouvement positif, a et è les extrémités initiale et finale de la portion de contour C. Alors v — v sera égal è l’excès du nombre de variations que la suite

présente au point b sur le nombre des variations que la même suite présente au point a.

La démonstration est la môme que pour le théorème relatif aux racines réelles. On but voir qu’un changement de signe de l’une des quantités V, F, , . . . n’a pas d’iniluence sur le nombre des variations. i/ et V ne peuvent pas changer de signe en môme temps. Donc, si U — 0 pour t = c, on aura à considérer les eas suivants, £ désignant un accroissement compté positivement do a vers b :

Il r

Dans le t" et le 4* cas, -y passe de + à — ; donc, dans le passage par le point c, v augmente d’une unité, et en môme temps il SC produit une variation de plus ; de sorte que l’accroissement du nombre des variations donne bien l’accroissement de v — v'.

Dans le 2* et le fi* cas, -y passe de — à -f-, v' croît d’une unité, et par suite v — •/ diminue d’une unité. Mais en môme

P) V' pcul élro do degré plus élevé que (/, auquel c.as lo reste de la division de {/ par K est U, et alors — 1', = U.

temps le nombre des variations diminue aussi d’une unité. Donc le théorème continue à subsister. Or, comme il ne peut y avoir de changement dans le nombre des variations que lorsqu’on passe par un point c, le théorème est complètement démontré.

208. Pour mettre en pratique celte méthode, prenons pour contour celui d’un rectangle dont les côtés soient parallèles aux axes coordonnées, et qui ait pour abscisses extrêmes , A', et pour ordonnées extrêmes i/o , Y, en supjiosant

Le contour se composera de quatre parties ;

correspondant à y = y„ ,

depuis x = x„ jusqu'à x = A';

y — Vo y = P;

X—Xo,

y=Y y =yo.

Ainsi, dans chacune des quatre portions, V et V ne dépendront que d’une seule variable, savoir, de x pour C et C* , de y pour C et C’.

Si l’on veut obtenir toutes les racines d’une équation, on emploiera d’abord la méthode connue de Sturni pour trouver les racines réelles

Z ziz ^ Z d, y . • . j ~ .

On divisera ensuite f{z) par le produit

ce qui donnera une équation s (z) = 0, qui n’aura plus de racines réelles, situées sur l’axe de x. On pourra prendre alors cet axe luimême pour un des côtés du rectangle. En faisant d’abord

X, = —QC, ÿo = 0, X — + CX3, r=+X,

on obtiendra le nombre des racines complexes x -t- ty pour lesquelles le coefficient y de i est positif. Puis, en faisant

,r. = — Qo, y, = — 00 , À' = +x, r = 0 ,

on trouvera de môme le nombre des racines complexes dans lesquelles le coefficient de i est négatif.

On i>artagera ensuite le plan en bandes par des parallèles à l’axe

DES OI ANTITÉS f.OMH.EXES.

des Z ; puis on subdivisera par des parallèles à l'axe des y chacune des bandes qui renfermeront des racines. De celte manière, les racines se trouveront resserrées dans des limites a^z étroites pour qu’on leur applique la méthode d'approximation de Newton.

Ici, comme dans la ."echerclie des racines réelles, il n’est pas absolument nécessaire que l’équation soit réduite à n'avoir plus que des racines simples. Cependant, il y a naturellement avantage à commencer par l’application de la méthode des racines multiples, afin d'opérer ensuite sur une équation plus simple.

Il est facile de déterminer les racines imaginaires pures, qui sont les racines communes aux deux équations

«(Ojÿ) — 0, t’(0,y)=0,

et qui s’obtiendront en égalant à zéro le facteur commun à ces deux équations, .^près les avoir supprimées, on partagera le plan en quatre parties correspondantes aux quatre angles des axes coordonnés.

% II-

Dévtlnpptmml-iles funclions en séries périodiques.

209. Du théorème de Laurent, démontré au n° 155, il résulte que, si f{z) est une fonction uniforme et continue dans l’intervalle compris entre deux cercles concentriques, de rayons r et R, on pourra développer f{z) en une série convergente, ordonnée suivant les puissances entières, positives et négatives, de la différencez — c, c représentant le centre commun des deux cercles. On aura de celte manière

/•(;) = il. -t- il, (Z— c) -t- d,(z— c)* +■■■

ou, en posant

Z — c = re'^ 1

( 1 ) f(c + re‘') = il. -t- il, re’’’ + A,r' e’*'' +

• A^r ' e *''+ il.

chaque coefficient A, , d'indice positif, nul ou négatif, étant déterminé par la formule générale

TiiKoniF. èi.émf.xtaihe

mi: fi O

où P est un module quelconque compris entre r et R.

Si dans le second membre de la série (1) on remplace l’argument p par P -I- ikr., ce second membre ne change pas. Donc le second membre est une fonction périodique de l'angle p , et par conséquent il en est de môme du premier membre, tant que l’équation (1) subsiste. C’est ce qui résulte d’ailleurs de la supposition que la fonction f{z) est uniforme dans l’aire considérée; car, puisque l’on a

c-4 re'> = c + re''

il on résulte

c’esl-ù-dire, si l’on pose /-(c -t- re'') = F{p),

F{p) = F{p + ik^).

Ainsi, une fonction uniforme de i = c -h rc*’’ est une fonction périodique de l’argument p, et la série qui exprime le dévelopj>ement de la fonction suivant les puissances de z — c = re'^ est nécessairement une série périodique par rapport à l’argument p.

210. On peut présenter le développement (t) sous forme trigonométrique, en remplaçant chaque exponentielle c"*' par cos np -!- i sin np. Il vient alors, en posant

F{p) — It, -t- D, cos p II,cosip+--- + CtSin p + C,sinip + • • ■ ■

On voit aisément que, si F{p) est une fonction paire de p, telle que F{ — p)= F{+p), le développement devra se réduire à la première ligne, et ne contenir que des cosinus. Au contraire, si F(p) est une fonction impaire de p, telle que F{ — p) = — F{+ p), le développement devra se réduire à la seconde ligne, et ne contenir que des sinus.

21 1 . Appliquons, par exemple, ces formules nu développement de la fonction perturbatrice.

Soit r la distance de deux astres, s un nombre entier quelconque. On veut développer la fonction

en une série coordonnée suivant les puissances de l’exponentielle

qui a pour argument l'anomnlic excentrique | de l’un des astres.

La distance mutuelle r est déterminée par une équation de la forme

r’ =// — K cos (p — tt) + Jcosip,

H, K, a, J étant des quantités réelles, indépendantes de ip. On fait voir facilement que la valeur de r’ peut se décomposer en quatre facteurs du premier degré par rapport à 2 . Les racines de l’équation r’ = 0, du 4’ degré en :, sont de la forme

ae® , ±e‘\ be~‘^ , ± ,

a, b, 0 désignant des constantes réelles, et l’on peut supposer Q < b < a < i .

La valeur de r’ prendra alors la forme

d’où l’on tire

Bien que la fonction Q se présente sous la forme d’une fonction à deux déterminations (n° 120), nous verrons cependant dans la Troisième partie que cette fonction peut être considérée comme

uniforme, lorsqu'on fait varier z d'une manière continue dans l’intervalle de deux cercles passant par deux points-racines consécutifs de l'équation r’ = 0. Donc la fonction sera développable par le théorème de Laurent pour toute valeur de z dont le module sera

compris entre a et , et en particulier pour le casque nous considérons, où le module de z est égal à l'unité. On aura donc, en faisant, dans la formule dtîs numéros précédents,

et pour toute valeur entière, positive, nulle ou négative, de n,

Û étant une fonction réelle de ), les valeurs de /!,, A,, qui correspondent ù deux indices égaux et de signe contraire, seront deux quantités complexes conjuguées, de la forme

En réunissant donc les termes de dévcIop[)Cment qui correspondent à ces deux indices, on aura

,4, z" 4- z- = Af. ( z" 4- z- ) = 2Af, cos (n>|< 4- NJ ,

et étant des quantités réelles.

212. Sous la forme que nous avons donnée au développement (1) de /'(c-t- re'^) = F{p), la variable p est supposée n’admetlre que des valeurs réelles. 11 est facile de transformer ce développement de manière que la variable réelle p soit remplacée par une variable complexe, sans que la fonction et la série cessent d'ëtre périodiques par rapport à cette nouvelle variable.

nES QUANTITÉS COMPLEXES.

Il suffit, pour cela, de faire

et, en posant

f{c + re*') = /■(«+

p-\-xq-=

ÏTTMP

riv iri»

(3) F{tn) = Ac + A^e ^ + A, e ^ 4 - . . .

ÎTT^tt» i'Kiw

La fonction et la série ne changent pas, lorsqu'on fait croître ^ de 2fcm', ou tu de /iX, de sorte qu’on a F (tu) = F(«m k'k).

La fonction est donc périodique par rapport à la variable ta, la (lériode étant la quantité réelle ou complexe X.

En introduisant la même transformation dans la formule (2) qui détermine le coefficient A , et posant

il vient

213. Par suite du changement de variable, le contour de l’aire dans laquelle était renfermée la variable indépendante z va changer de forme. Voyons par quelles lignes seront remplacés les deux cercles qui limitaient cette aire.

TlIKOniE (CLKMENTAIKE

Il faut pour cela voir quel lieu décrit le point %, lorsqu'on laisse constant le module p de l’expression

%r.iV

c’est-à-dire lorsque le point z décrit autour du centre c un cercle de rayon />. Si l’on fait.

y = rr*'’ ^ 1 = / r‘® ,

il vient

(CT I iÛ / • \

Vf — -5^ r" + .

d’où

2nr . ,

— Sin (n - 9) = Z .

2rr

— cos (o — 6) = f.

Donc, pour que p et, par suite, ■/ restent constants, il faut et il suffit que r sin (n — 0) reste aussi constant.

Or r sin (cr— 5) = constante est l’équation, entre les coordonnées polaires r et n, d'une droite faisant avec l’axe des x l’angle 0, et parallèle par conséquent à la droite menée de l’origine au point ).. Donc le cercle de rayon p et de centre c se changera en une /y I 1

droite menée à la distance gj” *og “"<1® l’origine, et parallèle à la droite 0),.

Les deux cercles extrêmes, des rayons »o et r,, menés par deux points de discontinuité consécutifs z„ z, de la fonction /(:), se changeront en deux droites, menées parallèlement à OX par les jjointsde discontinuité correspondants Wo,w, de la fonction F(w), et la droite qui remplace le cercle de rayon f, sera une parallèle quelconque aux deux autres droites, comprise entre ces deux droites.

Si l’on désigne par li„ , h, les distances des points z„, à la droite Oà, la droite intermédiaire sera à une distance h de 0^, telle qu’on aura

< // < II

Un aura alurs

DES UfANTITÉS COMPLEXES.

et en faisant

2U. Lorsqu'on voudra obtenir le développement de f{z) pour un point z situé en dehors de l’intervalle des cercles décrits par les points 7o> per exemple, dans l'intervalle compris enlre les cercles menés par z, et par le point de discontinuité suivant z,, on devra donner à p une autre valeur, comprise entre les distances c3, et cz„ et substituer cette nouvelle valeur dans l’expression (2) de A,.

De même, lorsqu’on voudra développer F{w) pour un point iv situé en dehors des parallèles à OX menées par Wo, w , , pour un point compris entre les parallèles menées par te, et le point de discontinuité suivant w^, on devra prendre pour h une nouvelle valeur comprise entre les distances A,, A, de ic, , w, à OX, et substituer cette nouvelle valeur dans la formule (4).

215. On peut toujours, par un changement de variable, qui revient à faire tourner l’axe des x de l’angle 0, faire ensorte que la période X de la fonction F (w) soit réelle. Il suffit, pour cela, l étant le module de X, de poser

2jrto' inw ‘itz -,o

c’est-à-dire d’introduire , au lieu de ic, la variable proportionnelle

w=we

Alors la fonction

F{w) = F{We'^) = b\{W)

aura pour jiériode, par rapport à w ' , la quantité réelle l.

IGG

Ainsi, on peut supposer que l’on ait nuilliplié w par un facteur tel que la période soit une quantité réelle l, et que les bandes de convergence, qui limitent l’étendue dans laquelle chaque développement est possible, deviennent toutes parallèles à l’axe des x.

Si l’on partage alors le plan en bandes verticales, de largeur l, par des parallèles à l’axe des y, la marche de la fonction F,{w') sera identique dans toutes les bandes verticales, comme nous en avons déjà vu un exemple au n° Sd.

216. Si nous reprenons maintenant les notations du n° 200, en y faisant seulement a = l, les formules deviendront

irrrw Ar.iw

(5) F{w) = F{w + kl) .4,4 A,e~‘~+A,e~+ ■ ■ ■

tniw inhp

(6) j4, = -J- J F{<->+ ih)e * dw .

Enfin, par un changement de variable, on peut amener l’axe des X à l’intérieur de la bande de converçence, et alors rien n’empêche de supposer h = 0. La formule (6) se simplifie, et l’on a

217. Les formules (5) et (7) donnent, comme cas particulier, le développement en série périodique d’une fonction quelconque de la variable réelle w, dont on connaît toutes les valeurs dans l’intervalle compris entre w = 0 et w = L

On démontre môme que les formules subsistent lorsqu'on fait passer l’axe des x par des points de discontinuité de la fonction, [K)urvu que ces discontinuités soient telles que la fonction F{w) reste toujours uniforme et finie. Cela revient à dire que les formules (5) et (7) subsistent encore, pourvu que ces points (nécessairement de seconde espece) ne soient pas des infinis.

Si pour une valeur w = a, la fonction F{w) passe brusquement d'une valeur finie b à une valeur finie différente c, le développe-

menl représentera, pour w = a, la demi-somme des valeurs b et c, c’est-à-dire

lira ^ — 0 + F (a + t)

La démonstration directe de ce théorème, qui n’appartient plus, à proprement parler, à la théorie des quantités complexes, se trouve dans la plupart des Traités de Calcul intégral. Elle est présentée avec plus de développement et de rigueur dans les Mémoires de Lejeunc-Dirichlet {Crelle's Journal, T. IV, p. 94, et Dove’s Pcpcrlorium der Physik. T. I, p. 152), et dans le Compendium der lioheren Analysis de Schlomilch, 2’ éd. (T. Il, p. 115.) Voy. encore le Mémoire posthume de Hiemann, intitulé ; Darstellharkeil ciller Funclion durch eine trigonomelrische Reihc.