III

Séries Je Bürmann et Je Lagrange.

218. Nous avons vu (art. 149) que si f(w) est une fonction de IC, uniforme et continue pour toutes les valeurs de celte variable renfermées dans un certain cercle C (que nous supposerons, pour plus de simplicité, avoir son centre à l’origine 0 ), cette fonction pourra se développer en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de w,

(t) f(ic) = • • • •

Supposons maintenant que l’on change de variable, et que v représente une fonction donnée

de la nouvelle variable z, qui soit uniforme et continue dans une portion du plan, laquelle renferme nécessairement le point ro correspondant à l’origine de te et tel que

f (jo) — 9 •

Si l’on fait

f(tc) = f[?(;)] F(.-) ,

F (z) sera une fonction de z uniforme et continue tout autour du point Zo , dans toute l'étendue où les fonctions 9 et f seront ellesmêmes uniformes et continues.

THÉURIË ÉLÉMENTAIRE

Si l'on substitue pour w sa valeur dans l’équation (1), on obtiendra pour F (z) un développement ordonné suivant les puissances entières et positives de la fonction e (z) ,

Il reste maintenant à trouver l’expression des coefTicients du développement, et à déterminer l’étendue de l’aire 21 où doivent être renfermées les valeurs de z.