Considérons l’inverse de lu fonction f{z). A chaque

zéro de l’une des fonctions f{z), , correspond un infini de l’au-

tre. La considération de cette valeur inverse ^ va nous conduire à partager en deux classes les points de discontinuité de la fonction

La fonction f{z) devenant infinie pour z = c, il peut arriver que la valeur réciproque -j^ soit continue dans le voisinage de z = c. C’est ce qui aura lieu toutes les fois que ({c q- di) sera infiniment grand tout autour du point c. Car [1 étant infiniment petit tout autour de c et nul au point c lui-même, la continuité existera pour la fonction tout autour de ce point c.

Nous dirons, dans ce cas, que le point c est un point de discontinuité de pnEMifcRR ESPÈCE OU uii infini de premièhe espèce. Comme ce cas est celui que nous aurons presque toujours à considérer, nous conviendrons une fois pour toutes que, toutes les fois que nous parlerons d'un point de discontinuité ou d’un infini, sans autre désignation, il s’agira d’un point de discontinuité ou d’un infini de première espèce.

De même, nous appellerons zéros de première espèce, ou simplement zéros d’une fonction f{z) les points c tels ofis f{c-\-dz) soit infiniment petit tout autour de point c et nul au point c luimême.

Ainsi, tout zéro de Tune des fonctions f(z), sera un infini de

l’autre, et réciproquement; et, pour un tel point, l’une des deux fonctions restera toujours continue, tandis que l’autre passera par l’infini.

114. Nous appellerons points de discontinuité de seconde espèce les points de discontinuité de f(z) pour lesquels n’est pas con-

TH^OniE f-.I.I^MF.NTAIRE

tinue. C’est ce qui arrive lorsque la fonction f(z) passe brusquement (l’une valeur finie g à une autre valeur finie /i : la fonction éprouve alors une solution de continuité, en passant brusquement

de la valeur — à la valèur y

Une discontinuité de seconde espèce peut correspondre à une

valeur finie de f{z), lorsque la fonction ({c + dz) n’est pas infinie

tout autour du point c. Car alors l’est pas infiniment petit

tout autour de c, et passe, dans un intervalle' infiniment petit, d’une valeur nulle à une valeur finie ou infiniment grande.

Considérons, par exemple, la fonction

Si Z — c a une valeur réelle et positive -, f{z) sera infini pour Z — c infiniment petit. Au contraire, pour : — c négatif et = — s, f{z) sera infiniment petit pour c infiniment petit. Pour les autres valeurs voisines de c, f{z) est indéterminé. Donc c est un point de discontinuité de seconde espèce de la fonction f(z).

H5. Si f{x) est une fonction de la variable x supposée réelle, et que cette fonction soit toujours continue, ou simplement finie entre les valeurs Xo et X de cette variable, on démontre, dans le Calcul intégral, que la formule

est toujours vraie, de quelque manière que se comporte la dérivée l'{x) entre ces limites, cette dérivée pouvant devenir discontinue ou même infinie dans cet intervalle.

Functions uniforntes et fonctions mullifonnes.

H6. Une fonction est dite uniforme, lorsqu’elle n’admet qu’une seule valeur déterminée, pour chaque valeur donnée de la variable. Telles sont les fonctions qui résultent des opérations rationnelles

DES Ol'.VNTITi-S COÜIPLEXES.

d’addition et de soustraction, de multiplic<ation et de, division, d’élévation aux puissances entières, ou de combinaisons quelconques d’un nombre fini de ces opérations.

Telles sont encore les fonctions définies comme limites de sommes de séries convergentes, dont tous les termes sont des fonctions uniformes ; par exemple, la fonction exponentielle e‘, et les fonctions circulaires directes sin :, cos qui s'en déduisent.

117. Si une fonction f{z) est uniforme, sa valeur réciproque est aussi uniforme.

Il en est de môme évidemment de toute fonction uniforme de f{z), qui est aussi une fonction uniforme de z.

118. Si l’une des fonctions f{z), a un infini (de première espèce) au point c, l’autre, étant continue dans le voisinage de ce point (qui est pour elle un zéro), sera encore une fonction uniforme en ce point. Nous dirons alors que celle des fonctions qui devient infinie est encore uniforme dans le voisinage de son infini, et en cet infini même-

Si, au contraire, la fonction f{z) a en c une discontinuité de seconde espèce, auquel cas il en est de même pour la fonction

, alors f (z) et cesseront d’être uniformes au point c luimême, bien qu’elles puissent être uniformes en tout autre point.

Nous verrons que l’on peut cependant, dans certains cas, traiter ces fonctions comme si elles étaient partout uniformes, pourvu que ces solutions de continuité de seconde espèce soient en nombre fini dans un espace donné.

119. Si deux variables w et z sont liées entre elles de telle manière que, pour chaque valeur de z,w prenne une valeur déterminée, mais qu’elle ne prenne jamais la même valeur pour deux valeurs de z différentes entre elles ; alors z pourra être considéré comme une fonction uniforme de la variable w.

C’est ce qui a lieu, par exemple, pour les fonctions

m =z az + b ,

az-hb

CZ "4“ fl

TH^.OHIK KLKMKNTAIHE

: étant dans les deux cas une fonction uniforme de w, aussi bien que w est une fonction uniforme de

120. Mais généralement il n'en est pas ainsi. Une fonction te de 2 reprend la même valeur en des points différents du plan, en nombre fini ou infini. Il en résulte alors que, si l’on considère réciproquement 2 comme une fonction de tv, la valeur en question de te correspondra à plusieurs valeurs différentes de 2, et que 2 sera une fonction mulliforme de te.

Ainsi, nous avons vu que la fonction

fV = Z ,

U étant entier, prend des valeurs égales en n points distribués régulièrement sur une même circonférence. Si donc on cherche à déterminer 2 par la condition que w prenne une valeur donnée w,, on trouvera pour solution »i points différents. On dira alors que z est une fonction de iv à n délerminalions, ou une fonction «-forme.

Si deux variables w et 2 sont liées entre elles par une équation algébrique du degré m par rapport à iv et du degré n par rapport à 2, tü sera une fonction tn-forme de z, et 2 une fonction n-forine de tf.

La fonction exponentielle

ne change pas, lorsqu'on augmente 2 d’un multiple quelconque de 2:rt. Donc la fonction inverse

2 = log te ,

définie par l’équation précédente, sera une fonction inliniliforme, admettant, pour chaque valeur de te, toutes les valeurs, en nombre infini, comprises dans la formule

2 + 2 A'ïti ,

quel que soit l’entier k.

Remarquons, en général, que, si la fonction w = f{z) est périodique, la fonction inverse z — s {w) admettra une infinité de

DES Ql’ANTITÊS COMPLEXES. 81

valeurs, diflcrant entre elles de multiples quelconques de l'indice de périodicité.

121. Nous ne traiterons, dans cette seconde partie, que des fonctions qui sont uniformes soit dans toute l'étendue du plan, soit du moins dans la partie de plan considérée, et qui, de plus, ne présentent dans cet espace que des discontinuité de première espèce.

THÉORIE ÊLÉHEMAIRE