La condition
mod. y({) > 1110(1. fiz)
sera remplie, si l’on prend pour contour de 21 la courbe que l’on détermine en égalant le module de 5; (r) à la plus petite des valeurs de ce module qui correspondent aux diverses racines de féquation f (z) = 0.
En eÉfet, le module /î de ^ (z), qui s’annule pour z — r„, va nécessairement en croissant, lorsqu'on part de ce point, puisqu’il ne peut recevoir de valeurs négatives. Traçons autour de ?o une suite de courbes que nous désignerons par (/?), dont chacune correspondra à une valeur constante de ce module R. Si Ton pose, w et ti étant réels,
w = y(z) = « -I- it ,
l'équation générale de ces courbes sera H’ ^ t ’ = R' .
Deux courbes quelconques de cette suite ne se couperont pas, sans quoi il faudrait que ii* + v’ admît deux valeurs différentes pour le point d'intersection, et alors u et v, et par suite 9 (z) ne seraient plus des fonctions uniformes. Donc ces courbes iront en s’élargissant à mesure que le module R croîtra, et chacune renfermera entièrement toutes les précédentes.
11 en Sbra de même tant que le module R n'aura pas atteint un maximum. Or, pour ce maximum on doit avoir
ou, en reprenant les notations de l'article 106 ,
(iiX + vV) dx + (rX — uY)dy = 0 .
X et y étant deux variables indépendantes, il en résulte iiX I U )' = 0 , rX-iiV — 0 ,
d’où
THÉOltlE ÉLf.MEMAIItE
et par suite
?’(;) = X+iT = 0.
Donc, toutes les fois que le module cTune fonction y(:) passe par un maximum (ou par un minimttm), la dérivée ç'(s) de la fonction s’annule.
Il s’ensuit de là que, si R, est le plus petit des modules de ®(:) qui correspondent aux diverses racines de l'équation (r) = U, /t, sera égal au plus petit des modules maxima, ou lui sera inférieur Si donc on prend pour contour de 21 la courbe (fi,), donnée par réquation
h’ h e’ -- fi,' ,
î,'(s) sera différent de zéro dans toute l’étendue de cette aire, et, si Z est un point de l’intérieur et Ç un point du contour, on aura toujours.
inod y(ç) > mody(2) .
Si, de plus, la courbe (fi,) est contenue tout entière dans l’atVe de continuité 0 de la fonction F(z) et par suite de sa dérivée
F'{z) (art. 147), la fonction -77^ sera uniforme et continue dans
toute faire limitée par (fi,), et le développement donné par les formules (3) et (4) sera possible.
Si (fi,) sortait de faire 0 dans laquelle /^(z) est uniforme et continue, on remplacerait (fi,) par une autre courbe (fi[) de la suite (fi), correspondante à un module < fi, , et contenue entièrement dans 0.
221 . Cela posé, multiplions les deux membres de l'équation (3) par (z) dz, et intégrons de part et d’autre entre les limiles et 3 (art. 133). Si l’on pose
en remarquant que ç(r,) — 0, il viendra
(5) F{z) = yl,y(z) + 3,[y(3)]’+ • ■ • •
les coefficients ayant pour expression générale
= —r lim, ,
^ lini,=oD* '
Llih±lL.
Ces formules représentent la série de Diirmann. Voy. le tome II des Mémoires de l'Institut, an VII, page 14.
222. Pour obtenir la formule (5), nous avons intégré deux fois une série convergente, et nous avons admis que la série résultante est convergente. On pourrait le déduire d’une proposition générale analogue à celle que l'on démontre pour les séries de quantités réelles, et qui s'établirait de la même manière. On peut aussi s’en assurer, comme nous l'avons fait pour les théorèmes de Cauchy et de Laurent, par la considération du reste de la série.
Si l’on arrête au n'*" terme le développement de le reste de la série sera exactement égal à
lr(ç)j" [»{?)— '(2)]
et par suite le reste de la série (3) sera
Le module P de i?(Ç) e8t constant et plus grand que le module n de ç(:). On voit donc, en faisant sortir P du signe /, que cette quantité se réduit à une fonction finie de t et de multipliée par
, c’est-à-dire par un facteur infiniment petit pour n infini.
Donc la série (3) est convergente.
On obtiendra maintenant le reste de la série (5) en multipliant l’expression infiniment petite (7) par '^'{z)dz = dy(z), et intégrant entre les limites et z. Si l’on pose ç (i) —'R / (z), R étant le module correspondant à la limite supérieure z, on obtiendra pour résultat une intégrale finie multipliée encore par le facteur infiniment petit , et l’on en conclura que la série (5) est également convergente.
TIII-omE Él.fMKXTAlIlE
On pourrait remarquer que le reste de la série (5) peut se mettre sous la forme
L f nO'k z’rfz
'i"' Jji L?(Ç)j* f(c) — Z
expression qu’il serait facile de transformer en effectuant l’intégration par rapport à Z. On obtiendrait ainsi le reste de la série de Biirmann sous la forme d’un résidu intégral, comme on l’a fait pour la série de Cauchy (art. '149). Nous n’insisterons pas davantage sur cette formule, trop compliquée pour être d’une utilité pratique.
2'â3. Donnons quelques applications do la série de Biirmann.
