I. Supposons
Les courbes (R) seront données par l’équation
mod.(« — n)(z — t) = li , ou
mod .(2 — a) X mod .(2 — i) = fi .
Or mod. {: — o) et mod. (î — 0) sont les distances du point z aux deux points a et b. Ces courbes jouissent donc de la propriété que le produit des distances de chacun de leurs points aux deux points fixes a, b est constant. Ce sont donc des ovales de Cassini. Pour R moindre que le carré de la moitié de la distance ab des deux foyers, chaque courbe se compose de deux ovales séparées, entourant fune le point o, l’autre le point b. Pour R — (—âb)' , les deux ovales se rejoignent pour former une Icmniscate. Pour une valeur de R plus grande, on a une courbe unique, renfermant les deux zéros a et 6 de la fonction.
La dérivée ^’(r) = 2z — « — b s’évanouit pour z =; — ^ , expression qui, substituée dans ^ (:), donne pour valeur du module
Il faut donc prendre R ah)' , et par suite choisir pour 21 celle des deux ovales dont se compose alors la courbe, qui entoure le foyer dont z doit être le plus voisin, le foyer a, par exemple.
IIKS OIjANTITKS aiMI’I.KXKS.
On a alors, eu supposant celte ovale assez petite pour que la fonction F{z) reste uniforme et continue à son intérieur,
F(z) = F (a) + A, {Z- a) {Z - b) + A,{z — aY{z-hy +
l ,-i F (a) n ! “ (a — ft)"
Soit, par exemple,
rt = 0, b=l, F{z)=^{l-zf, d’où /Î<Ÿ’, et supposons que la fonction F{z), uniforme dans faire 21 qui ne renferme pas le point de ramification i = 1, parle du point 3 = 0 avec la valeur initiale = 1. 11 viendra
■224. II. Inversion des fonctions.
Étant donnée entre ir et z une équation de la forme
la série de Bürmann permet de développer z, ou plus généralement une fonction donnée F(z) de 3 , en une série ordonnée suivant les puissances de w, ce qui donne l'expression de la fonction inverse de la fonction s. La valeur de 3 en fonction de w pouvant offrir plusieurs déterminations, on obtiendra plusieurs formes de développement, correspondantes aux différentes aires 21 qui entourent les diverses racines r, de l’équation y (3) = (I, et à fintérieur de chacune desquelles z est une fonction uniforme de w.
Soit, par exemple, féqualion
w = zc ~‘ .
On a ici = 0, 9 '(z)= (i — z)e~*. Pour la racine 3 = 1 de s.' (3) = ü, on a mod. 3(3) = y- Le contour à fintérieur duquel doit se mouvoir 3 est donc déterminé par l’équation
THÉOniE ^.l.fiHENTAIIlE
OU
mo(l. zé
Pour un point de l’intérieur de ce contour, on aura
