Série de Lagrange
La quantité 3 étant donnée par une équation de la forme ; = C 4 wf{z) ,
on propose de développer z, ou plus généralement F{z) suivant les puissances de w.
On aura dans ce cas
d’où l’on tire z» — c, en admettant que f{c) ne soit pas nul. L’équation (s) = 0 devient, en supposant que f{z) reste fin dans faire considérée,
f(z)-iz-c)f'{z) = 0.
Parmi les racines de cette équation, on prendra celle qui donnera
pour mod. la plus petite valeur H , , et le contour de faire où 3 devra être contenu sera déterminé par féquation
On aura alors
Soit, en particulier, féquation du problème de Kepler.
c = 3 — «jsinz ,
c représentant l’anomalie excentrique, 3 l’anomalie moyenne, et w fexcentricité. L’équation y' (i) = 0 devient ici
ou
c’est-à-dire
DES QUANTITÉS f.OSII’l.EXES.
sin 2 — U — c) cos :
sin’; ~
Z - c. - lang 3 = 0,
lang x-T- (Thÿ i - i langxThy ~
équation qui se partage, pour r. réel, en deux autres,
sinâx
cos2x-i C.li2ÿ
Sh2ÿ
cos2x-t Ch2ÿ
i\e pouvant résoudre ces équations tant que la valeur numérique de c n'est pas donnée, cherchons du moins quelle est la plus petite valeur que puisse recevoir le module de ie, pour une valeur quelconque de c.
La seconde des équations précédentes peut se mettre sous la forme
2sin‘x = 1 —
Sh2y
+ Cli2y .
Le second membre croissant avec y, et le premier membre ayant pour valeur maximum 2, il s'ensuit que y ne pourra surpasser la racine réelle de l’équation
Sh2ÿ ^ y ou
1 =,Ch2y —
ou enfin
1 Ch2y-1
Thy
Cette équation, résolue par interpolation à l’aide d’une Table de fonctions hyperboliques (') donne approximativement
(') Voy., par exemple, notre Recueil de Formules et de Tables numériques, page SO.
TlllvnillK ËI.KMI^NTAini;
Si maintenant, dans la valeur de w, savoir,
sin :
on remplace : — c par sa valeur lang z, tirée de (z) =•- 0,il vient
, , Chi/cos3T-f- iStu/sina:
w = sécz = 2 ' — s- ’
cos2 r -r Ui2ÿ
expression dont le module a pour valeur
cos2j:+ Cli2y
ou, en remplaçant cos Ch 2 y par sa valeur -
Sli2.v
Celte quantité décroît pour y croissant, et a par suite son minimum correspondant au maximum de ?/, c’est-à-dire à la valeur y = l.tUO?. On a alors
d’où
Shy
Donc le développement ne sera possible, quelle que soit la valeur réelle de c, que pour des valeurs de mod. w inférieures à Ü,6G27. Pour de telles valeurs, on aura
F{z) = F(r) H .4, IC» + . • • .
