Il reste à calculer maintenant la première intégrale

prise le long du contour de l’aire Supposons d’abord que les infinis c,, c,, ... soient tous contenus dans une aire limitée 21, et qu’il reste sur la sphère (Chap. IV), autour du point O' correspondant à s = oo , une aire finie 21', qui ne contienne aucun infini de f{i), si ce n’est peut-être le point 0' lui-même.JTransformons les ^ du plan horizontal en du plan antipode, en posant

l’intégrale précédente prendra la forme

et elle devra être prise en tournant autour de 0' de l’est à l’ouest. Pour la ramener au même sens que les intégrales du plan horizontal, changeons son signe, et elle deviendra

a-ç'(l-zç') ç'(l— 'î')

'in

V étant l’indice de l’infini O’ pour lequel Ç = oo ou $' = 0, et A' étant une quantité qui ne devient pas infinie pour Ç' = 0. En posant

ï'v(pj = x(î'),

cette fonction y (Ç') sera continue dans le voisinage de Ç' = 0. L’intégrale précédente pouvant s’écrire sous la forme

np.S OL’ANTITftS COMPLEXES.

et la fonction A’x(Ç') restant finie pour ç' = 0, le résidu de celte fonction sera nul, et, en remeltant pour l'intégrale son expression primitive, il viendra

en posant

= liniç’=,

L’ordre v de l’infini Ç =- x. de la fonction f{%), lorsque celte fonction est rationnelle, est égal à l’excès du degré du numérateur sur celui du dénominateur.

Si les deux termes sont de môme degré, l'expression précédente se réduit à une constante, savoir, à [{oo ) ou au rapport des coefficients des plus hautes puissances de i dans les deux termes.

Si le numérateur est de degré moindre que te dénominateur, O' n’est plus un infini de la fonction

et par suite le résidu de cette fonction pour $' = 0 est nul. La fonction f{i) se réduit alors à

215. Dono, si f{i)est une fonction dont tous les infinis, à l’exception de 2 = 00 , soient contenus dans une aire finie 21, et si »», , n„ . . . , y sont les indices respectifs des infinis c, , c, , . . . , oo , f{z) pourra se mettre sous la forme

le signe 1 s’étendant nécessairement à tous les infinis c,, c, , . . . ,

180 THÉORIE ftl.ÉMF.XTAlRE

et les cocflîcients Bj et G*** étant déterminés par les formules (3) et (2) 0).

Si l'indice v était négatif, la première ligne du développement disparaîtrait.

On voit que, si le nombre des infinis c, , c, , ... est limité, et que les indices n, , n, , . . . , v aient tous des valeurs finies, la fonction f(i) est nécessairement une fonction rationnelle, comme nous l’avions déjù établi d’une autre manière (art. 186). La formule (4) donne alors la décomposition d’une fonction rationnelle en fractions simples.

Dans le cas contraire, le développement de ({z) se composerait d’une infinité de termes. Pour pouvoir faire usage de ce développement, il faut s'assurer préalablement de sa convergence.