Prenons encore pour exemple la fonction cot

d) Vog. an. 1S8.

DES OL'AXTITÉS complexes.

qui a pour infinis toutes les valeurs de z de la forme

- — JL

Choisissons pour contour de Faire une courbe qui entoure tous ces infinis, à l’exception de celui qui répond à n = 0, et par suite à 2 — . 00 , et qui est le point 0'. On aura, par la formule de Fart. 215,

D'ailleurs, cot Ç' élant infini du premier ordre pour Ç' = 0, on a

Ensuite

Ult

cot —

— lim

cot

tin

niî

cot

«rr 1 L n?2 — 1 nir2 + lj

=zrt-2^— ^--1.

L 1 nVr’ - 1 J

De ce développement dont il est facile de constater la convergence, on tirerait aisément ceux de cot z, tang i, etc., en remplaçant 3 par ^ , puis s' par z' , etc.

218. Si la fonction f{z) a un nombre illimité d'infinis, correspondants à des valeurs de z indéfiniment croissantes, alors les infinis, sur la sphère, se presseront autour du point 0' avec une densité infinie, et l’on ne pourra plus toujours appliquer à l’évaluation de cette intégrale ~~~ le procédé du n“ 214.

On peut, 'dans certains cas, effectuer simplement cette évaluation.

Prenons pour contour de 21 une ligne de dimensions infinies» qui ne passe par aucun des infinis de /"(î). On peut alors écrire l’intégrale sous la forme

Pour Ç infini et 2 fini, le facteur 7 différera infiniment peu

de l’unité, et par suite on n’altérera qu’infiniment peu l’intégrale en le supprimant. On pourra donc, dans ce cas, toutes les fois que cette intégrale aura une valeur finie, remplacer la formule ( 1 ) par la formule

L’intégrale J"

est une constante, indépendante de z.

mais qui peut dépendre de la forme choisie pour la courbe infinie qui limite faire 21. La somme de résidus i ^ , relative à tous

les infinis renfermes dans l’aire 21 , sera en même temps dépendante de la forme de cette courbe. Alors le développement de la fonction en une somme infinie de fractions simples ne pourra pas se faire sans tenir compte du terme complémentaire représenté par la première intégrale.

Mais si, en donnant au contour de 21 une forme symétrique par rapport à forigine, il arrive que celte intégrale prenne une valeur constante, indépendante de la nature de la courbe symétrique, nulle par exemple, comme cela a lieu lorsque f{z) est une fonction impaire de z, alors, en associant deux à deux les résidus correspondants à des infinis symétriquement placés, on aura un développement convergent de la fonction. f{z), sous forme d’une suite infinie de fractions simples.