Appliquons au développement de la fonction

F( 2 ) = D,logA.-) la formule du § précédent,

F(.) = v rJli) +L f rm., ' '-'e 2 — Ç 2ir< { —Z

la fonction f{z) étant supposée uniforme dans toute l’étendue do l’aire 21.

La fonction dérivée f (z) a les mêmes infinis que la fonction

f{z) (art. 147); donc

riz)

fiz)

ne peut devenir infinie que pour les

valeurs qui rendent f{z) ou infinie ou nulle.

Soit c un zéro ou un infini de f{z), m son indice, positif ou négatif (art. 162). La fonction

fjz)

sera finie, continue et différente de zéro pour z = c (art. 160 et 161). Donc •

fjz)

m fjz)

sera aussi continue pour z = c. 11 en sera de même, par conséquent, de

f'{z)riz)

riz)

Donc Êst égal à plus une fonction finie et continue

pour Z = c. Le terme étant infiniment grand du premier ordre, tandis que l’autre partie est finie, on en conclut que, pour

toute valeur z = c qui rend la fonction f{z) nulle ou infinie, la fonction

'^=D.logA^)

deviendra infiniment grande du premier ordre.

D’après ce que nous avons vu (art. 213 et 215), le résidu

r DJogAt)

est égal à la partie de la fonction log f{z) qui devient infinie pour Z = c, c'est-à-dire à ^ ^ , comme il est aisé de le vérifier, en calculant directement

Donc

2 ïti

?' (?) ' f(Ç)(— oJ'

D, log/",;)