CHAPITRE III

INTÉaBALBS DES PONCTIONS D'UNK VARIABLE COMPLEXE.

De l'intégrale d'une fonction de deux variables prise dans Fétendue d'une aire

donnée.

123. Nous appellerons aire une portion de plan limitée de toutes parts, et contour de l'aire la ligne ou l’ensemble de lignes qui limite cette aire.

Si le contour forme un trait continu, et ne se coupe point luimême, de sorte qu'on puisse parcourir ce contour en entier sans pénétrer dans l’aire, on dira que l’aire est à connexion simple (* *). Telles sont les aires d’un cercle, d'une ellipse, d’un rectangle, etc.

Si, au contraire, le contour se compose de plusieurs courbes fermées qui ne se rencontrent pas, de sorte qu’on ne puisse passer de l’une de ces portions de contour à l’autre sans pénétrer dans l’aire, on dira que l’aire est à connexion multiple (*). Telle est faire comprise entre deux cercles concentriques.

L’aire est à connexion double, triple, quadruple, etc. (*), suivant que les portions du contour indépendantes entre elles sont au nombre de 2, de 3, de 4, etc. L’aire comprise entre deux cercles concentriques est à connexion double. L’aire représentée par la partie blanche de la ligure 27 est à connexion quadruple.

123. Une même ligne servant à la fois de limite aux deux portions de plan qu’elle sépare, il importe de distinguer celle de ces deux portions que l’on veut considérer.

Nous supposerons un observateur debout sur la partie supérieure du plan, et parcou-

rut. «.

(') Einfach zusammenhàngend (Riemann).

(*) Mehrfach zusammenhangend.

(•) Zwei-, drei-, rierfach zusammenhdngerot .

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rant le contour de l'aire considérée, de manière que cette aire soit toujours à sa gauche. Le sens dans lequel marchera cet observateur s'appellera le sens direct ou la direction positive du contour de cette aire. Le sens opposé s'appellera le sens rétrograde ou la direction négative de ce contour.

Si l'on considère tour à tour les deux portions de plan limitées par la même ligne, le sens qui sera direct par rapport à l'une sera rétrograde par rapport à l'autre. Il sulTira d'indiquer le sens que l'on considère comme direct, pour que l'on sache par cela même de laquelle des deux portions du plan il doit être question.

Ainsi, dans la figure 27, les flèches indiquent le sens direct du contour de la partie blanche de l'aire, et le sens rétrograde du même contour considéré par rapport à la partie noire.

124. Une droite indéfinie dans les deux sens, menée è travers une aire, rencontre nécessairement le contour de faire un nombre pair de fois, autant de fois pour entrer dans faire que pour en sortir.

Supposons d'abord cette droite parallèle à l'axe des x. Si Ton représente par

•F| » •'Tl > ... )

les abscisses des points de rencontre consécutifs, les abscisses d'indices impairs correspondent à des entrées, les abscisses d'indices pairs à des sorties.

Si un point s'avance sur le contour (Jig. 28) de manière que sa projection sur l'axe des y marche dans le sens des y positives; en

Fi». ».

d'autres termes, si ce point passe de dessous au-dessus de la parallèle aux X, ce point marchera dans le sens rétrograde à chaque entrée, dans le sens direct à chaque sortie.

Il résulte de là que, si un point parcourt le contour constamment dans le sens direct, la direction qu’il suit lorsqu'il passe par un point de sortie fait un angle aigu avec la portion positive de l’axe, des y; lorsqu’il passe, au contraire, par un point d'entrée, cette direction fait avec le môme axe un angle obtus.

D’après cela, si l’on désigne par dy^ la variation de y lorsque le point mobile sur le contour rencontre la parallèle aux x à l’extrémité de l’abscisse , dj/^ sera positif, si est l’abscisse d’un point de sortie, ou si l’indice k est pair; négatif, si se^ est l’abscisse d’un point d’entrée, ou si l’indice k est impair. Si l’on désigne donc par dy la distance absolue de deux parallèles à l’axe des x inliniment voisines, on aura, en général,

rfyj = (— t)Vy

125. Soit maintenant V=V{x,y) une fonction, réelle ou complexe, des deux variables x,y, continue (et, par suite, finie) dans toute l’étendue d’une aire donnée 21, y compris le contour de cette aire. Supposons, de plus, que la fonction V soit uniforme dans cette étendue, c’est-à-dire qu’elle ne soit susceptible que d’une seule valeur pour un système quelconque de valeurs de x et de y, correspondant à un point quelconque de faire ou de son contour.

Il pourra se faire, dans certains cas, que la dérivée partielle D^V ne soit pas toujours finie et continue ; mais il nous sufllt que la fonction V elle-mômc le soit.

Considérons fintégrale double

D^V’.rfa-1/y,

relative à tous les élémenls dxdy de faire 21- four l’évaluer, nous couperons d’abord faire par des parallèles à l’axe des x infiniment rapprochées, et nous évaluerons la valeur de fintégrale correspondante à la tranche infiniment mince, comprise entre deux de ces parallèles consécutives.

Cette valeur se coiiifiosera d’autant de parties qu’il y a de couples de points d’entrée et de sortie. On prendra fintégrale indéfinie.

ihj.jn^Y.dy= Vdiji

UES QUANTITÉS COMPLEXES

on ajoutera les valeurs correspondantes aux points de sortie, et l'on retranchera les valeurs correspondantes aux points d'entrée. Si donc .on désigne par la valeur de V qui répond à l'abscisse x^, on devra ajouter les valeurs de \\dtj qui répondent à k pair, et retrancher les valeurs qui correspondent k impair, ce qui donne

Or, d'après ce que nous avons vu, si dy,. est la variation de y obtenue lorsqu'on traverse l'intervalle des deux parallèles en parcourant le contour de l'aire dans le sens direct, on a

dy,= (-\Ÿdy.

Donc la valeur de l’intégrale relative à la tranche peut s’exprimer

Pour avoir maintenant l’intégrale double relative à l’aire totale 21, il faudra faire la somme de toutes les expressions analogues à la précédente, en faisant varier y entre ses limites extrêmes. Or, il est clair que l’on aura ainsi à faire la somme de toutes les expressions Vjdi/j relatives à tous les éléments du contour de faire.

Si donc nous désignons par

f Vdy du

la somme de tous les éléments \dy, relatifs à tous les points du contour de faire 21 , et dans lesquels dy représente f accroissement, positif ou négatif, de y, correspondant à un déplacement inOniment petit d'un point mobile sur le contour dans le sens direct; nous obtiendrons la formule

J f hVMdy= jvdy,

OÙ fon observera que la notation J j" représente une intégrale

double, prise sur toute la surface de faire tandis que la notation j désigne une intégrale simple, prise tout le long du contour de

faire 21. ce contour étant toujours supposé parcouru dans le sctis direct.

TMÉUHIE ÊLÊMENTAinE