VI

Calcul des intégrales défnies.

225. Nous avons vu ((^hap. Il) que si V et Vsont deux fonctions de X et de y, uniformes et continues dans l’intérieur de faire et si, de plus, elles satisfont à la condition

en vertu de laquelle Uilx+ Y dy est une différentielle exacte, fintégrale

iUdx -h Vdy ) ,

prise le long du contour de est nulle.

Si les fonctions U , V, en restant toujours uniformes, cessaient d’être continues en des points c, , c, , . . . , compris à fintérieur do 21, entourons ces points de contours infiniment petits. En raisonnant alors comme au n® IS9, on verra que fintégrale prise le long du contour de faire 21 se réduira à la somme

2 £(//</*+ Vdy)

des valeurs-limites de toutes les intégrales prises le long de chaque contour infiniment petit tracé autour d’un des points de discontinuité contenus dans faire 21.

Ainsi, si f/ et V sont des fonctions de x, y, uniformes dans toute l’étendue de faire 21, et continues dans toute cette même étendue, à l’exception des infinis c,, c, , . . .; si, de plus, elles sont telles que Udx+ Vdy soit une différentielle exacte, on aura la formule fondamentale

Jj, {Udx-h Vdy)^

en posant

(2) ^ 1=1 Ç {Udx + Vdy),

le signe de sommation s’étendant, dans cette expression, à tous les points de discontinuité c contenus dans faire et A étant nulle

DES qlaxtites complexes. 189

toutes les fois que l'aire 21 ne renferme aucun point de discontinuité.