Pour calculer l’intégrale

posons

V,lij) ,

X' + (ÿ — c = te*',

d’où, en faisant c = a il>,

X — a — a cos P, y — b—f,s\np,

et prenons pour contour infinitésimal le cercle de centre c et de rayon infiniment petit p. L’expression Udx -l- Vdy prendra la forme

et l’on aura

^^{Udx+ rdy) = limp^j ^ Fip,p)dp.

Soit, par exemple, l’intégrale

xdy — f/rf.r x' -t- y' '

prise le long du contour d’un carré ayant pour centre l’origine et dont les côtés sont parallèles aux axes et égaux à 2 unités. Le long de ce contour, l'intégrale deviendra

dx

r* dy f-'

— (Le

dx

Or, les fonctions — ; r ’ ont l'une et l’autre un point

’ x'-hy’ x' + y'

de discontinuité pour x = 0, y = 0. En calculant, par la transformation précédente, l'intégrale prise autour de ce point, on aura

Donc

dx îT

THftORIE Èl.tMF.NTAIRE

227. Si, en particulier, Vdx + Vdy est la différentielle d'une fonction F{z) d'une variable complexe z = a: 4- iy, on aura alors (n° 1U6)

U=F{z), V = iF{z),

d'où

U+iVz=Q.

En faisant donc

l'expression Udx Vdy se changera en f{z)dz, et sera le

résidu intégral de la fonction f{z) relatif à faire 21. On aura donc les formules

(3) f f(z)dz = \,

228. Pour faire usage des formules (1) et (3), sur lesquelles repose ce que Cauchy appelle la Méthode du passage du réel à l’imaginaire, on choisit le contour de faire 21 de manière à pouvoir exprimer finlégrale du premier membre à l'aide d'intégrales définies relatives à des variables réelles. En séparant ensuite de part et d'autre le réel de l’imaginaire, on obtiendra deux relations entre des intégrales définies réelles et des quantités connues, dès que l'on saura calculer A.

On prendra généralement pour contour une ligne telle qu’une seule des variables x et t/ , ou r et p varie à la fois, auquel cas on rencontre immédiatement des intégrales définies ordinaires. Pour cela, on composera, par exemple, le contour de parties circulaires ayant pour centre l'origine, ou de parties rectilignes parallèles aux axes. Dans le premier cas, le rayon vecteur r sera constant ;Jdans le second, une seule des coordonnées x, y variera.

Examinons successivement plusieurs cas particuliers de cette méthode.

229. I. Si fon prend pour contour un cercle de rayon r et de centre c — a + ib, et que fon pose, comme au n° 226,

a; = fl r cos P , y = b + rsiap.

tlF.S Ol ANTITfiS COMPLEXES.

la difKrenlielle Udx + Vdy prendra la forme F{r,p) dp, ou simplement F(p) dp, et l’int^rale proposée deviendra

F(p)dp.

On aura donc la formule

/ F{p)dp = à,

qui se partagera en deux autres, si F{p) est une fonction complexe de p.

Soit, par exemple, finlégrale

dz

Jji l — az

/■(z) étant une fonction continue dans l’intérieur de faire 21- La fonction

{l-az)z

a d’abord l’infini i = ü, et de plus, si le point z = -—est contenu dans faire 21, ce point sera un second infini. On aura donc

Jjll-az z L*-, (1-a-)-

Le premier résidu a pour valeur

Le second est nul si le point est extérieur à faire; si le point

est contenu dans faire, il sera égal à

Donc la valeur de l’intégrale sera 2., 7(0) , ou

suivant que — sera extérieur ou intérieur à faire.

Prenons maintenant pour 21 un cercle de rayon i. Alors Z = e*'’ , = idp , et il vient

f(e‘f) dp

pour raod. a < 1 , *

pour mod. a > 1 ,

En supposant f(z) = 1 et a réel, il vient, suivant que a est < 1 ou > 1 , en valeur absolue,

rirr dp

d’où

•Jo

ou

>îit {i — aco&p)dp I — 2;rOU = 0.

'o 1 — 2 a cos P + a* ’

sin pdp

Jg 1 — 2acosp + a’

230. Dans certains cas, on peut connaître a priori la valeur de A. Supposons, par exemple, que l’on sache développer, par un moyen quelconque, la fonction F{z) de la variable complexe z en une série convergente pour tous les points de faire 21, et ordonnée suivant les puissances entières et positives de z c. Le

coefficient de la jï“"' puissance de 2 — c aura pour expression (n“ 149)

* 2iti ( 2 — c)"'*'*

Si donc on connaît d’avance la valeur de ce coefficient on aura par là même la valeur de fintégrale

ou, en prenant pour 21 un cercle de rayon r et de centre c, compris à fintéricur du cercle de convergence,

(11) j F{c + reff) '"r (fp = 2 TT r* . .4,.

Plus généralement, si l’on connaît le développement d’une fonc-

IIKS yrAXTITKS COMPl.KXES.

IIW

tiun F{z) en une série ordonnée suivant les puissances positives et négatives de : — c, et convergente dans tout l'intervalle compris entre deux cercles do centre c, on aura la môme formule (5) pour toute valeur entière de n, positive, nulle ou négative, r étant le rayon vecteur d'un point quelconque situé entre les deux cercles

Pour appliquer ces rormulcs au calcul des intégrales définies, il sudlra de séparer dans chaque membre, le réel de l’imaginaire, ce qui fournira deux relations.

Par exemple, du développement connu de la fonction

on tire, pour » > 0,

rf,i = 2 = (- !)*

2rr

formule qui se décompose en deux autres,

j' è~' cos (»• sin p + n p) dp = ( — 1)" ^

Jq

— r cos p

rl C

sin (rsinp + np) dp = 0.

Pour H < 0, la première intégrale serait nulle aussi bien que la seconde.

2.'^!. II. Prenons pour faire 21 un demi-cercle ayant pour diamètre f un des axes coordonnés, Taxe des r par exemple, et pour centre forigine. En désignant par II le rayon de ce cercle, la formule (3) devient (fi(i. .3.'»)

J(A’A) -i-/(ATJA’)= A, c’est-à-dire,

f f(.r) dr -H I f7( Ile") dp = \.

Supposons maintenant que f{Re''’) soit inliniment petit d'ordre [x pour /?

infini. Alors la fonclion conservera, pour R croissant

194 TIIËURIE El.ÉMENTAdlE

indéfinimenl, une valeur finie f (e*'’)- La seconde des intégrales précédentes pourra alors s’écrire sous la forme

La quantité sous te signe j restant toujours finie, l’inUïgrale sera pareillement finie, et, si l’on suppose

l’intégrale sera multipliée par un facteur infiniment petit. Donc on aura, pour R = ao ,

lim. i JJ f{Re') Re*” dp — 0, et notre formule se réduira à la suivante.

Qi)

A représentant le produit de 2-t par le résidu intégral de la fonction /■(:), relatif à tous les infinis situés au-dessus de l’axe des x.