Si Ton considère de même TiMégrale double

ïi^U.(Ledy

f ' étant encore une fonction de a; et de y, uniforme et continue dans toute l'étendue de Faire nous verrons que l'on aura, pour valeur de cette intégrale,

le signe — provenant ici de ce que, dans une tranche parallèle à l'axe des y, les dx^ relatifs aux points d’entrée doivent être pris positivement, et les relatifs aux points de sortie négativement.

127. En retranchant l’une de l’autre les équations (1) et (2), nous obtiendrons la formule fondamentale

/ f {^y—^^U)dxdy = J {Udx+Vdy).

On a donc ce théorème :

Si V et y sont deux fonctions de x et dey, uniformes et continues dans toute l’étendue de l'aire 21 , la valeur de l'intégrale double

(4) ff[DV-DU)dxdy,

étendue à tous les éléments superficiels dxdy de celle aire, est égale à la valeur de l'intégrale simple

(5) J^iUdx+Vdy),

prise en donnant à x et à y successivement tous les systèmes de valeurs qui correspondent aux divers points du contour total de l’aire, ce contour étant parcouru dans le sens mnEcr.