Si l'expression

Udx+ Vdy

est une différetiticlle exacte, — D^L’ s’annulera identique'

UES QUANTITES COMPLEXES.

ment pour toutes les valeurs de x et de y. Donc l'intégrale double (4) sera identiquement nulle, et, comme la formule (.3) ne cessera pas de subsister, l’intégrale (5) sera donc pareillement nulle. Donc,

TotUes les fois que V et V étant deux fonctions de x, y, uniformes et continues dans toute l’étendue de l'aire 21, ^expression

Udx + Vdy .

sera une différentielle exacte, c’est-à-dire toutes les fois que l’on aura idenliquemetU

l’intégrale.

+ Vdy),

prise le long du contour de l’aire 21 sera nulle (').

Ce qui a lieu pour l’aire totale 2t est vrai également pour toute portion de cette aire. Donc l’intégrale (5) est nulle aussi, lorsqu'on la prend tout le long d'une courbe fermée quelconque tracée à rinléricur de l’aire 21 (*).

129. II est aisé de voir que, si l’on prend une même intégrale quelconque, telle (\wJVdx, le long d’une même ligne finie, fermée ou non, en parcourant successivement cette ligne dans les deux sens opposés, les deux valeurs obtenues pour l’intégrale se composent d’éléments égaux, mais de signes contraires. Donc ces deux valeurs seront égales et de signes contraires.

130. Cela posé, si l'on désigne, pour un instant, par / (AD B) la

(') Voyez Biemanm, Grundlagen fUr eine allgemeine Théorie der Funclionen einer verànderlichen complexen Grosse, 1851 (pages 8 et suiv.).

(*) Si l'aire 71 était à conoexioD muiliple (n° 122), on ne devrait considérer comme une ligne fermée tracée à l'intérieur de l'aire qu'une ligne pouvant, par des déformations continues, se réduire à un seul point sans sortir de l'aire, et sans pénétrer dans les enclaves qui n'en font point partie. Par exemple, la proposition ne serait pas vraie pour une courbe fermée qui entourerait une de ces enclaves de toutes parts.

THÉORIE ËLÉMEKTAIRE

valeur d’une certaine intégrale prise le long de l’arc ADB (Jig. 29), Fi|t. 19. cet arc étant parcouru dans le sens indiqué

par l’ordre des lettres, on aura

/(ADB)=-/(BDA).

On a d’ailleurs évidemment

/(ACBDA)=/(ACB) +/(BDA).

On peut donc écrire aussi

/ (ACBDA) =/ [ACB) —/(ADB).

Si maintenant l’intégrale /(ACBDA), étendue au contour fermé tout entier, est nulle, on en conclura

/(ACB)=/(ADB).

Donc, si Pintégrale considérée est nulle lorsqu'on la prend tout le long d’une courbe fermée quelconque tracée à l’intérieur de faire 21, la valeur de cette intégrale restera la môme lorsqu’on la prendra le long de toutes les courbes finies tracées à fintéricur de faire 21 entre les mêmes extrémités A et B.

C’est ce qui a lieu en particulier pour l’intégrale (5), lorsque Udx Vdy est une différentielle exacte. Donc, si ü et V sont deux fonctions de x et de y, uniformes et continues dans toute l'étendue de l'aire 21 et telles que Udx + V dy soit une di/férentielle exacte ; si, de plus, A et B sont deux points quelconques de l’intérieur ou du contour de faire 21. f intégrale ,

f{Udx-i- Vdy),

prise le long d'une ligne quelconque tracée de K en B à f intérieur de faire 21, est indépendante de la forme de cette ligne, et on peut la considérer comme une fonction des coordonnées des extrémités K et B de la ligne, ou seulement des coordonnées d’une seule de ces extrémités, si f autre est supposée fixe.