Soit maintenant

ir = Il -(■ ir

DES quantités complexes.

une fonction de la variable complexe

z=x + iÿ,

et supposons cette fonction uniforme et continue à i'intcricur de l’aire On a, d'après ce que nous avons vu dans le Chapitre précèdent,

D« = Dr, D«=: — Dr.

Donc chacune des expressions

rdj- + «dy , ttdx — rdy

est une différentielle exacte.

En appliquant donc le théorème du n® 128, on en conclura d'abord que chacune des intégrales

prise tout le long du contour de l’aire 21 est nulle. On aura donc, en les ajoutant, après avoir multiplié la première par t.

y [(« + iv) dx + (m — f) rfy ] = + **’) = 0 >

c’est-à-dire ^

/ wdz=0 .

Donc, si w est une fonction de la variable complexe z, qui soit uniforme et continue daus toute l’étendue de l’aire 21, l’intégrale

J wdz , prise le long du contour de cette aire (ou plus générale-

ment le long (Tune courbe fermée quelconque tracée dans cette aire), est nulle.

1d2. On en conclut encore que l’intégrale

wdz,

prise le long d’un chemin quelconque traeé à l’intérieur de faire entre les points Zo et Z, est indépendante de la forme du chemin parcouru, et quelle ne dépend que des seules limites et Z.

no

THÊORIR ËLEMENTAIRG

133. On voit en outre que c'est une fonction (tfi 101) de ces limites. Si l'on fait, en effet, varier une de ces limites Z de la quantité dZ, l’intégrale croîtra de

’Z+dZ

wdz.

Soit, maintenant, w = tv (z) une fonction de c, uniforme et continue dans tous les points considérés, et soit

wdz.

une intégrale de cette fonction, prise entre deux points infiniment voisins z', z', le long d’un chemin quelconque joignant ces deux points. Puisque, d’après le n“ précédent, cette intégrale est indépendante de la forme du chemin parcouru, on pourra prendre pour ce dernier Pensemble des deux composantes rectangulaires x’ — x’, y' — y' de la distance z'— z'. On a alors, en désignant par des valeurs moyennes entre x' et x ’ , et entre y' et y ' ,

wdz = J (•* + ««'’) + idy)

~ X iv{x,y')]dx+ij^ [«(a:', y) + ic(a!’,y)]dy

= {x’ — a:')[«(ï,y') + ip(5,y')] 4-i(y' — y') [« (x',«) + iv (*',«)] . quantité qui différera infiniment peu de [{*' — x')+i(y'-y')] [«{a^y') + ip(a;',y')] = (z'— x-)»(z'). Donc, lorsque z' converge vers z', le rapport

, rwdz

convergera vers la limite w (z'), indépendante de z' — z'.

Il résulte de là que la limite du rapport

I rz*-dz

-dzJz

est la valeur w (Z), indépendante de dZ, de la fonction w pour

UES QL'A.NTITÊS GOHPLEXES.

Z = Z. Donc w {Z) est la dérivée de l’inlégraley wdz par rapport à sa limite supérieure Z.

Par conséquent, celte intégrale remplit la condition nécessaire pour que l'on puisse la considérer comme une fonction de sa limite supérieure, comme dans le cas d’une variable réelle, et de plus cette fonction est uniforme et continue, comme la fonction w ellemême. 11 en serait évidemment de môme relativement à la limite inférieure. On a ainsi les deux équations

Z rz

D / wdz = w{Z),

f todz——w(z^.

oJ a»

134. Les intégrales définies des fonctions d'une variable complexe, uniformes et continues dans l’étendue d'une aire 21, jouissent donc de propriétés analogues à celles des intégrales définies des fonctions d'une variable réelle.

Si l'on désigne par ; un point quelconque de l'aire, on aura , comme pour les fonctions d'une variable réelle, l’égalité

wdz

wdz.

On déduit de cette formule :

1* La décomposition d'une intégrale définie en deux ou en plusieurs autres;

2“ La faculté de remplacer une intégrale, dont tes deux limites sont variables, par la différence de deux intégrales, ayant chacune une seule limite variable;

3° Si l’on échange entre elles les limites de fintégrale, on a (voir n° 129)

4" Enfin, toutes les fonctions dont la dérivée est w (:) dans l’étendue de l'aire 2i, sont comprises dans la formule

wdz +

C étant une constante indépendante du chemin parcouru pour aller

de Zo en z. Si l’on désigne par F{z) une quelconque des fonctions comprises dans cette formule, on aura, par l’élimination de C ,

wdzz=l F{Z)—F{Ze).

135. Si la fonction w est uniforme et continue dans toute l’étendue du plan, comme le sont les fonctions

c‘, cosz, sinz, z",

(m étant entier et positiQ, on pourra supposer l’aire 3 aussi grande que l’on voudra, et prendre pour Zo et Z deux points quelconques du plan.

Pour de telles fonctions,

l’intégrale^ wdz aura une significa-

tion aussi bien déterminée que pour le cas des variables réelles, et on l’obtiendra de la même manière, en passant par l’intégrale indéfinie.

1.36. Considérons une intégrale quelconque de la forme j{Udx+ Vdy),

U ei Y étant des fonctions uniformes de x et de y, et soient 21 et 0 deux aires adjacentes, dont les contours, qui ont une partie commune, ne passent par aucun point de discontinuité des fonctions U , V. Les intégrales prises le long de chacun de ces contours seront des quantités finies et déterminées, quelles que soient les discontinuités que peuvent présenter les fonctions U, V dans l’intérieur des deux aires.

Or on a, dans tous les cas {fig. 30),

J {Udx+ Vdy) = J(ACB) + j (BEA),

{Udx + Vdy) = J(AEB) + j (BDA) ;

et comme on a (n° 129)

J(BEA)+ J(AEB)=0,

DKS QUANTITÉS COMPl.F.XES.

il s’ensuit de 15 que

J^=J(ACB) + J(BDA).

Fig. 30.

Or, la somme (ACB + BDA) forme le contour total de l’aire ACBDA = 21 + 0. Donc, en

désignant par J l'intégrale

.31 4* fl

prise le long du contour de l’aire totale 21 + 0, on a, en général.

Si nous supposons maintenant que Udx + Vdy

soit une ditTérentielle exacte, et que les fonctions uniformes U et V soient continues dans l'étendue de l'aire 21, on aura alors j = 0, et par conséquent

Donc l'intégrale prise le long du contour d’une aire quelconque 0 ne change pas, lorsqu'on ajoute à l'aire 0 une autre aire 21 doTis laquelle les fonctions U et V sont partout uniformes et continues.

Par la même raison, on peut, sans changer la valeur de l'intégrale (Udx -h Vdy), retrancher de Faire 0 toute portion de

cette aire à Fintérieur de laquelle les fonctions UetV restent uniformes et continues.

137. Démontrons encore un théorème dont nous ferons usage plus tard.

Nous avons vu que, si W est une fonction quelconque de x et de y, uniforme et continue dans l’étendue de faire 21, on a [125 et 126]

TH^.OniE ëlEmentairr

JJ D W.dxdy =— J H'rfa:.

Soit maintenant w=M-t-ie une fonction de z = x + iy, uniforme et continue dans toute l’étendue de 21, ainsi que sa dérivée D^w’. Remplaçons H', dans la première des formules précédentes, par («’), et, dans la seconde, par D («'), et ajoutons les résultats. Il viendra

Or, d’après les propriétés générales des fonctions d’une variable complexe, on a [102 et 105]

Dm-i-D« = 0, D« = Dp,

Il vient donc, en développant et réduisant,

Jf (D^ «)’] = J M(D^f’.Ær-i-D^f.rfÿ):= J udv.

Mais l'intégrale double du premier membre est essentiellement positive, tant que D^u et D u ne sont pas nuis dans toute l’étendue de l’aire 21, c’est-à-dire tant que u n'est pas constant dans toute l'étendue de celte aire.

Si D^u et D^u ne sont pas nuis à la fois, les relations que nous avons rappelées tout à l'heure montrent que et ne s’annulent pas non plus, et qii'alors v n'est pas une constante, non plus que te = u -I- iv.

Donc Vintégrale f udv

sera positive toutes les fois que iv ne se

réduira pas à une constante en tous les points de l’aire 21, et elle ne sera nulle que si w est constant.

Des résidus,

138. Soit U' = f{z) une fonction de la variable complexe supposons que celte fonction reste uniforme dans toute l'élenduo

DF.S OLANTITÊS CONPLEXRS. 95

de l'aire mais qu'elle présente, à l'intérieur de cette aire, des solutions de continuité aux points

en nombre fini, et isolés les uns des autres (c'cst-à-dire séparés entre eux par des intervalles finis).

Entourons chacun de ces points de discontinuité d'un contour fermé aussi petit que l'on voudra, et désignons par

j wdz

l’intégrale J wdz prise le long du contour infiniment petit qui entoure le point c.

Si l'on considère la portion de faire 3 qui reste après la suppression des aires infinitésimales entourant les points de discontinuité, la fonction w sera uniforme et continue en chaque point de cette portion. On pourra donc, d’après le théorème démontré au n° 136, supprimer cette portion d’aire sans changer la valeur de fintégrale

Donc cette intégrale est égale à la somme des intégrales prises le long des contours infinitésimaux tracés autour des points de discontinuité que renferme faire 21 , c'est-à-dire que l’on a

(t) J wdz=J wdz -h ^ wdz-t h J wdz.

Donc, pour évaluer une intégrale prise le long du contour d’une aire quelconque, il suffit de savoir évaluer une intégrale prise le long d'un contour infinitésimal tracé autour d'un point de discontinuité.

139. Soit c un point de discontinuité de la fonction w, et voyons comment on évaluera l’intégrale prise autour de ce point.

Nous pouvons supposer que l'on donne au contour tracé autour de c la forme d'un cercle de centre c et de rayon infiniment petit p. Posons alors

Z — c — fét.

Quand le point 3 fera le tour du cercle, 9 variera seul, et croîtra

THÉORIE ÉI.ÉHENTMRE

de 0 à 2x, si Z fait une seule fois ie tour de c, comme cela a lieu ici. On aura donc

et par suite

dz = if>e*'f — c)df,

( wdz — i r*’^fc.(r — c)d?.

Je Jo