Le développement du déterminant

fl,., + 2

«;,i rt,, 2 -bZ. • .

suivant les puissances de z donne

l'expression

étant un déterminant partiel du degré m, dont la diagonale est fopmée d'éléments appartenant à la diagonale de R„ , et 2R m désignant la somme des déterminants qui se déduisent de R /n en remplaçant les indices /, &,. . . , par toutes

les combinaisons différentes des nombres i, 2,..., rc, pris m km (*).

Démonstration. — On aperçoit immédiatement que le premier terme R n coïncide avec f (o), et que le dernier terme est bien z n . Les termes du développement qui contiennent z m résultent des termes du déterminant f(z) dans lesquels il entre m éléments quelconques de la diagonale. En désignant maintenant par z, A, . . . une combinaison quelconque (rangée suivant Tordre ascendant) de m indices de la suite 1,2,..., n 9 et par r, 5, . . . les indices restants, on a (§ II, 4)

f (z) étant mis sous cette forme, on reconnaît, par le théorème 1, que le développement du produit

a ifi -h z a it k .

forme une partie du développement cherché du déterminant f[z). Le développement du premier facteur suivant les puissances de z se termine par s m , celui du second facteur commence par

(*) J.YCOB1, Journal de Crelie, t. XII, p. i5.

Par conséquent

est la forme générale d'un des termes du développement cherché, qui contiennent z m . En remplaçant les indices i, A, . . . par toutes les combinaisons possibles m à m des nombres de la suite i, 2,. . . , n, et par suite r, 5, . . . par toutes les combinaisons possibles n — mkn — m des mêmes nombres, on obtiendra tous les termes def(z) qui contiennent z m en facteur.

§ V. — Des. déterminants ordonnés suivant les produits des éléments de deux lignes qui se coupent.

i. Théorème. — En. désignant par R le déterminant 2 ±: a ifi a 9ti . . . a„ ?n , par R' le coefficient de l'élément a r ^ s dans R, et par a iyt le coefficient de l'élément a iit dans R', on a

R = a, tS R' — 2 d "r* a u* */.*•

On obtient les différents termes de la somme en faisant (*)

Démonstration. — Les termes du déterminant R contiennent ou bien l'élément a r>0 ou bien le produit de deux éléments appartenant aux lignes qui se coupent suivant a ryS , par exemple, le produit a tfk a if ^ h désignant un indice quelconque différent de 5, et 1 un indice différent de r. La

(*) Cauchy a donné un cas particulier de cette formule (Journal de VÊcole Polytechnique, XVII e cahier, p. 69).

somme des termes de R qui contiennent a riS est par hypothèse « r} , IV. Le coefficient du produit a,.^ a i)S dans R est d'ailleurs égal et de signe contraire au coefficient de a r9 , a ifl daïis R (§ III, 7), et par conséquent égal et de signe contraire au coefficient de a ijk dans R'. Donc — a iyk est le coefficient de « r> x a i$s dans R.

Corollaire* — D'après les notations précédentes, le coefficient de l'élément a rik dans R est

De même, le coefficient de a^ s dans R est

2. Si le système des éléments donnés est symétrique, de sorte qu'on ait a i>f - = a 4 - )A , et que R' soit le coefficient de l'élément a rjl . dans R, et <x ijk le coefficient de l'élément a iik dans R', on trouve (i)

R = a r>r R' — Jï a r>i a r ,k a,,*.

Les termes de la somme répondant à des valeurs inégales de i et de /r, sont, dans ce cas, égaux deux à deux, puisque

« w = a,. 4 (sm,8).

Exemples :

= flflf,û J — ab] 3 —a x b\ 7 — a 2 b\ K -+- nb 0l b 07 b t2 .

\a b 9l b 9i b„ —a{a x atai — a x b il — a i b\ z — a z b) 1 '\-7.b X7 bHbn) ' *,,«. b t2 b t , — b] t (a,*,— b\ 3 ) - *:,(«,«, — *,,)- ^,(«i«.— *ÏJ \b a2 b...a 2 b 73 -t-2b ol bn(tiib n — b lz b n )-t- ib 0l b 0S (a 2 bu — b l7 b 23 ) .th z b {i b^a 2 -¥-2-b ù7 bn(a { bn— b u b lz ).

=a 7 a\ + b'b]-\-c*c] — 2aa x bb x — 2aa x cc x — zbb x cc x = (aa x -\-bb x — cc x ) 2 — ^aa x bb x

Comme cas particuliers , on a

a o c = labc.

b fo 3 a l % o c b c, c

p b x c = — {yfââx -H V^i + ^) (Jaa t + sfbb x — y 7 "^)

X [slaâx — yfbFi-h V«?i)(— ft + ^ + ^).

i oc ô = a 2 -|- fc 2 -h c 2 — 2a6 — 26c — %ac i c o a z=z[a-\-b — c) 2 — /±ab i b a o

X (—>/* + ^ÏH-^c).

§ VI. — Z)e$ produits de déterminants.

1. Théorème. — Formons, avec deux systèmes donnés d'éléments ,

Kn • • • y bt.py

°\,19 • • •» a l,pi

et

£«,!» • • 1 ^B,yi,

un troisième système d'éléments ,

^n,l > • • » y Cn,n y

de telle sorte que le k ième élément c <)Jt de la i ième ligne horizontale s'obtienne en multipliant les éléments de la i ième

ligne horizontale du premier système

respectivement par les éléments de la k ièm * ligne horizontale du second système

et faisant la somme des produits, ce qui donne

Ci.k = «i.i bk, x -+- tf/, 2 £*,, -+- . . . •+- a itP bk,p- Désignons par R le déterminant de ce système

Formons , au moyen d'une combinaison de n lignes verticales quelconques du premier système^ le déterminant P, et au moyen de P, par le changement de a en b , le déterminant Q, dont les éléments appartiennent au second système. En formant la somme de tous les produits PQ possibles, on a

r = Ypq.

Quand p =. n, R se réduit au produit unique PQ. Quand p < n , R est identiquement nul (*).

Démonstration. — En faisant prendre à chacun des indices indéterminés r, s, *,. . . successivement les valeurs i, 2, . . . ,p, alors, par hypothèse, le terme principal du déterminant sera

Cx,x C 7>7 . ..C n , n = / S *'- r bx > r ) ( S * 2 ' bl ' s ) ( S " 3 *' ^ 3 ' Y ' '

=r ^ flf i,r«2,,«3,^ • b ifr b 2tS b it t

(*) BiRBT et Calchy (dans des Mémoires publiés en même temps, Journal de F École Poix technique, XVI e cahier, p. 286, et XVII* cahier, p. 81 et 107) ont déduit cette proposition de la considération des cas particuliers

THÉORIE DES DÉTERMIMÀHTS. Sj

De là on déduit les autres termes de R, en permutant les seconds indices des éléments c, les premiers indices demeurant immobiles. Or, dans cette opération, les premiers indices des éléments b sont seuls permutés sous le signe sommatoire, tous les autres indires n'éprouvant aucun changement. Par conséquent on a

R= 2^ ( a i,r a *,s <**,e • . ? Â dbb lt r b 7)S b 3tt :. . )

Le déterminant Q s'annule lorsque deux des indices r, s, t, . . . sont égaux entre eux (§11, 4). On obtient donc tous les termes de la somme à former, en remplaçant /y,f,..., par tous les systèmes de valeurs de n indices différents pris dans la suite i , 2, . . .p.

Si l'on a maintenant p <^ n, alors R = o. Car, parmi les indices r, $, t , . . . , dont les valeurs doivent être prises dans la suite i , 2 , . . . , p, et qui sont au nombre de n , il faut qu'il y en ait quelques-uns égaux entre eux; par conséquent, pour toutes les déterminations possibles de r, 5, t y . . . , on aura identiquement

Si p = n, alors on ne peut prendre, pour système de valeurs des indices r, £,£,... , que les diverses permutations de i, 2, . . . , n r parce que, pour tout autre système de valeurs, Q serait identiquement nul. Or, par la permutation des indices r, 5, t, . . . , Q se changera soit en Q, soit en — Q (§ II, 4) } par conséquent, la somme désignée par R

qu'avaient donnés Lagrange (Mémoires de V Académie de Berlin, 1773, p. 285) et Gauss [Disquis. arilhm., 157, i5<), 268, I^r Voir Jacobi, Det., i3 cti/«.

contient tousles termes du déterminant >? ~ ai >* a *,8** ,a n,n> multipliés par le facteur Q -, c'est-à-dire que Ton a

Si p^> n,on peut prendre d'abord pour systèmes de valeurs des indices r, $ , £,..., toutes les combinaisons n k n

des nombres i, 2,. . ., p. On trouve sinsi y ) termes de

la somme cherchée , d'où l'on peut déduire tous les autres en remplaçant chaque combinaison r, s\ f, . . . par ses diverses permutations. D'après les remarques qu'on a faites

pour le cas des p= n, chacun des y \ termes, joint à

ceux que l'on en déduit, forme le produit de deux déterminants PQ. On a donc I

b\, r b XfS b lf( . . .

bi,r b, âS b ijt . . .

où Ton prendra pour les systèmes de valeurs r, s , t , . . . , toutes les combinaisons n à n des nombres de la suite

Exemple. — En posant

ct,k = <*i,\ bk,\ ■+• *i,i bk,7 -h a it3 bk, 3 ,

on a

et

C 3jI **3,2 C 3,3

Ct,7

2. Si , en particulier, les éléments b sont respectivement égaux aux éléments a marqués des mêmes indices , alors le système des éléments c est symétrique 5 c'est-à-dire qu'on a

ci,k = Ck,i = «1,1 «/.. -H «1,2 «*,2 4- . . . -h a itp ak, p ,

et par suite

■ • Cn,n

en prenant successivement pour systèmes de valeurs de r, s, £, ... toutes les combinaisons n h n des nombres 1,2,..., p, et faisant la somme des résultats.

Tant que les éléments a sont réels, le déterminant

51 — Ci,i ^2,2- • >c, hn est positif, et ne peut s'annuler que si

le déterminant

4o PREMIERE PARTIE, § VI.

est nul pour toutes les combinaisons r, $,/,.. . (*). Le cas particulier

ri

Zl

XiX i -hy l jr 7 + z i z 3

avait déjà été trouvé par Lagrange (Sur les Pyramides , 3).

3. Le produit de deux déterminants P et Qde degré n est un déterminant R de même degré, que l'on peut écrire sous quatre formes, en général différentes entre elles (**), en composant chacun de leurs éléments soit avec une ligne horizontale de P et une ligne horizontale de Q , soit avec une ligne horizontale de P et une ligne verticale de Q, soit avec une ligne verticale de P et une ligne horizontale de Q , soit enfin avec une ligne verticale de P et une ligne verticale de Q. Si Ton pose, en effet ,

on a, d'après le théorème \ ,