PQ

en supposant que Ton prenne

ct,k = "1,1 ^.1 -h tf/,2 h kA -+- . . . 4- a itR b kn%

(*) Jacodi, Del., i3.

(**) Càuchy, loc. cit., p. 83.

On a par conséquent

*«,!•- -«rt,/!

«t,i*i,r+...+«i, n *,,n, fl|>j ) . + ...+fl|, n t M ,..., «i,| **!+.«. +«i,n*«,r. «»,l*l,i +•••+«*,«*!,/., «2,i*2,i + ...+«5,«*2,nvM «iM*n,l+."+«V»*'M»

«n.l*i,i + «..+«ii,n*i,n> «n,i *ï,i + ...+«n,n*2,nv> «n,i *n,i + •••+««.**"

D'après la règle de formation que nous venons de donner, on a encore

a lA . . . a l>n * M . . . b n>x

fl B( i^i + . • • + « n , n *„,i, • • • , «n,i *»,*+• • + «/i,n*/i,r

«i,i*i,i + * • .+« n ,i*i,,,,. • • , «i,i*n,i + . • - + «/i,i*im «1,11*1,1 -h. • . + ««,n*i,m • • •> «i.!i*ii,i + • • - + «/i,n*/i,n

Les déterminants qui entrent comme facteurs dans les

premiers membres de ces égalités, ne sont autre chose que P et Q (§ II, 3). Donc les déterminants qui forment les seconds membres ne diffèrent point de R, c'està-dire qu'oïl a

«l,!"« « -tfl.1

b n ,\- • >bn,>

<?/ * désignant l'une quelconque des quatre sommes <*,,\ bt,t -h tfi,2 bk,i -4- ... -h fl,-,„ £*,„ ,

«iM^I,* -+"«/, 2 ^2,ft + • • • "4- «f ,« A»,* 9

ai,ibk tl -+-a 2> ibk,2-h. . . -4- ff,,,* #*,„ , #i,« ^i,* 4- «2 f i ^2,* -h ... 4- «„,, £„,*.

4. Ze produit d'autant de déterminants quon voudra est un déterminant dont le degré ne surpasse pas le plus élevé des degrés donnés, et dont les éléments sont des fonctions rationnelles et entières des éléments donnés (*). En effet, si lés degrés des déterminantsdonnés ne surpassent pas le n ième j on pourra mettre tous les déterminants sous la forme de déterminants du n ième degré, et alors, d'après la règle (3), multiplier le premier par le second, le produit par le troisième , et ainsi de suite.

D'après le § II, 6, on a

fl i.

» si chacun des éléments a i)k , pour i r > m , est égal à zéro ou à l'unité, selon que A 5?/, les autres éléments non donnés

(*) Jacobi, Det., i3.

restant indéterminés. On a par suite

£/i, l • • • ff «#n

en supposant

De cette somme il ne reste, pour i*^>m, que les termes

àk,i -f- «i,i+! ^*,*+i -+-...-+- a i>n bk, n * Si les éléments indéterminés sont tous nuls, on a

Ci, à = «i,i bk,\ -+- «,,, &*, 2 4- ... -h «i,« &*,m j

ce qui, pour * > m, se réduit à b kji seulement. Exemple :

ap+bq, a p x -\-b *,., c, d"

«i/?-+-^i«, «i/?i-h^i«n ^i» ^i a 2 p-\-b 2 q y a 2 p { -+- b 7 q n c 2 , d 2 a 3 p-t-b 3 q, a 3 p { ■+- b 3 q lf c 3 , «*,