Théorème. — Soient
Q=2± *,..*,.,... A..., en supposant
de sorte que PQ = R(1)} soient de plus « 1 -,* > j3 l y,y < - >i les coefficients de «,,*,&,,*,£,,* respectivement dans P,Q,R:
Pi y*
on aura
7a = a «',t P*,i + «i,» P*,2-4- • • • -ha,-,,, (U,« ,
et si en particulier b ifk = a iyi ,
Démonstration, — Le coefficient de a iyr dans PQ est, d'après ce qu'on a supposé, a,,.Q, Gomme on a de plus (§MI,1)
= ^ («1,1 ^,1 + a i,i bs,* -h ... 4- *,> #,,«) 7/,* i
il s'ensuit que ^ b Sir y iiS est le coefficient de a ljr dans R.
Or on a PQ = R 5 par conséquent
La somme V ^,rP*, r > dont les termes répondent aux va-
leurs r = 1 , 2 , . . . , n , s'annule toutes les fois que 5 est différent de #, et a pour valeur Q lorsque $ = À* (§ III, 1). Il ne reste donc, de la somme totale, que le terme y,-,*Q,
(*) Calciiy, loc. cit. t p. 90. — Comp. Joachimsthal, Journal de Crellc, t. \L, p. /|fi. Ce théorème est renferme dans le théorème général ( 1 ).
de sorte que
Exemple. — Si l'on a
abc
a-i b 2 Ci
en vertu des équations
r •==. al -\- b m -\- en,
si de plus on désigne les coefficients de a ,&,...,/, m, ... , r, 5,... dans les divers déterminants par les lettres grecques correspondantes, on a, d'après le théorème qu'on vient de démontrer,
t 2 = a, >, -+- p, p, -f- 71 v 2 ; par conséquent
Ia l -h b /// -h c « , a /, + 6 m i H- c /i, Ai/ -»- &, w + f,«, a, /, -h 6, /w, H- c,/i,
Dans le cas particulier où le second système est identique avec le premier % on a l'identité suivante, qui est d'un fréquent usage (*) :
( fl » + b\ -+- c») (a J 4- b \ + c J ) — («a, + **, + ce, )>
(*) Lagrange, Sur les Pyramides, î .
§ VII. — Des déterminants de systèmes adjoints.
1. En désignant par a ifk le coefficient de a ifk dans le déterminant
Rr=
le système des éléments
est dit adjoint (*) au système des éléments a.
Théorème. — Le déterminant du système d'éléments adjoint à un système donné de n % éléments est égal à la (n — i) ième puissance du déterminant du système donné (**).
Démonstration. — En multipliant
par R, on obtient (§ VI, 3)
C|,|. . • Ci ,
(*) Cauciiy, loc. cit., p. 64» a emprunté cette dénomination à la théorie des formes quadratiques (Disquis. arithm., 267 ).
(**) Cauchy, loc. cit., p. 82. Le cas de n = 3 se trouve chez Lagrange (Sur les Pjr., 5) et chez Gauss, loc. cit.
en prenant
Ci,k = «»,i «*,i H- «I.» #M H- • • • 4- a/,« <**,«•
Ces éléments c ont la valeur R ou la valeur o , suivant que î et À* sont égaux ou inégaux (§ III, 1). Leur déterminant se réduit donc à son terme principal
^1,1 ^2,1 • • • C n>n IX
(§11,7). On a donc
2. Théorème. — Un déterminant partiel de degré m du système adjoint est le produit de R" 1 - 1 par le coefficient qui multiplie dans R le déterminant partiel correspondant du système primitif (*).
Démonstration. — Soient
des permutations données de î, a, . .., n, et supposons que /, g, . . . , et i, k, . . . désignent des groupes de m indices, les n — m indices restants étant désignés par r, $ 5 . . . , et par tt, p, . • • • ^ e déterminant de degré m
(*) Jacobi, Det., ii. La multiplication par R du déterminant cherché, employée dans cette démonstration, a été indiquée par Borchardt.
ff/;„ . . .
O r , Je .
a St , . . .
sera un déterminant partiel du système adjoint (§ IV, 3). Or on a, d'après les hypothèses admises,
e ayant pour valeur +i ou — i, selon que les permutations données appartiennent ou n'appartiennent pas à la même classe (§ II, 4). Pour multiplier le déterminant partiel cherché par e R, on peut le mettre (§ VI, 4) sous la forme
b r ,i brj. . . b rtU b r ,,. . .
b s ,i b tt k. . . b ttU b StV .
les éléments b ayant pour valeur i ou o, suivant qu'ils se trouvent ou ne se trouvent pas sur la diagonale. Le produit des deux déterminants est le déterminant d'un système d'éléments c, parmi lesquels c 1)l9 c f) ,,. . ., c m>m ont pour valeur R, tandis que les autres éléments des m premières lignes horizontales sont nuls (§ III, 1). Les (m-hi) , * m % (w + 2) rtm V" lignes horizontales sont respectivement égales aux (m -h i) ièm % (m+2) ,iffle ,... lignes verticales dans sR. Or ce déterminant se réduit (§ IV, 2) au produit de deux déterminants, dont le premier a pour valeur R m (§ II, 7) ; le second est
tfr.u fs.u- •
ûr.u O r , v .
a r<v a StV . .
o St u a s>9
