THÉORIE

On a par conséquent

s,u ûsjp* • •

ÏVapres le *

IV, 3

représente le coefficient qui multiplié, dans R, le déterminant partiel

du système donné, dont les éléments sont affectés des mêmes indices que ceux du déterminant cherché.

Exemples. — Si l'on suppose

R = ^ ± a XtX a 2>2 . . . a tlfn ,

on a

De même,

-i,m+i • • • "flH-i,n

(*) Jacobi, /oc. c/f.

5o PKEMIÈBE PARTIE, § VIT.

En particulier, pour n = 5, on a

*»i «as «j«

«Il «15

parce que les permutations

n'appartiennent pas à la même classe.

On a, au contraire,

ûf ia

parce que

sont des permutations de la même classe.

3. Le coefficient de l'élément a iyk , dans le déterminant des éléments adjoints

est

Car ce coefficient est un déterminant partiel du système adjoint, du (n — i) lVW degré, et le coefficient qui .multiplie dans R le déterminant partiel correspondant du système primitif, esta,-,*, comme on le voit immédiatement. Si, en particulier, n = 3, on a

Rtf,

:Rrt 3l , etc. (*)

(*) Lagrasge, Sur les Vyr., 3.

THÉORIE DES DéTEftMINAfiTS. 5l

4. En général, pour calculer un déterminant partiel du second degré dans le système adjoint, par exemple,

on a besoin du coefficient qui multiplie, dans R, le déterminant correspondant

Ce coefficient n'est autre que celui qui multiplie, dans R, le produit a^ t a gyk (§ IV, 3). Par conséquent, on a

ttof.i d a g.t

On a de même

daf ti da gt k duj

et ainsi de suite.

Ces identités font connaître en même temps comment lesCquotients différentiels du second, du troisième,...,, ordre d^un déterminant peuvent s'exprimer au moyen des quotients différentiels partiels du premier ordre de ce déterminant.

5. Lorsque R est identiquement nul, il en est de même des déterminants partiels du système adjoint du 2 e , du 3 e ,. . . degré, puisqu'ils contiennent R en facteur (2). De l'identité

*g.i a ft*

(*) Jacobi, Det. t 10.

5d PREMIÈRE PARTIE, § VIII.

résultent les proportions

«/,.• : *f,k = <* g ,i : * g ,i, */,i : * gti = * ftk : * g>k ,

Si, en particulier, les éléments du système donné sont tels, que l'on ait a kfi = dz a />t , alors, dans l'hypothèse de R identiquement nul, on a aussi

ei par suite

Delà résulte la proportion

«•m :•«/,» : «1,3 : . . . = V«î7t : v^T» • v^.s • • • • » ce qui fait voir, d'une part, que les rapports «/,i : *t,t : a/,3 :. ••

sont indépendants de i, et d'autre part que le signe de l'un de ces radicaux détermine les signes de tous les autres.

§ VIII. — Du déterminant d'un système dans léguer les

éléments correspondants a^ et a ifi sont égaux efde

signes contraires (**).