Théorème. — Un déterminant de degré pair

«i,i . . . a Xi

*»,!* • • *ll

dont les éléments sont tels, que Ton ait

(*) Jacobi, Journal de Crelle, t. XV, p. io4 et ailleurs.

(**) Ifn pareil système et son déterminant ont été appelés par Cayley

est le carré d'une fonction rationnelle des éléments (*).

Démonstration. — En désignant par R' le coefficient de a t | dans R, et par a, k le coefficient de a, k dans R', on

R = a ltl R' — ^ a,,, tf,,* a,,*, i,*

i et A: recevant les valeurs 2,3,..., /i. En vertu des hypothèses faites sur les éléments, on a identiquement

R / = o(§III, 9 ), aa = a M =^M«W (§VII,5).

Si l'on détermine maintenant les signes des radicaux de telle sorte que v/â^ï V 7 ***,* ai* pour valeur a iyk ( et non — <*,,*), il vient

ou, puisque la seconde somme ne diffère pas de la première, et par suite

est une somme de n — i termes. Or a ifi est un déterminant de degré n — 2, où la série des premiers indices est la même que celle des seconds, et' se compose des nombres

{Journal de Cr elle, t. XXXII, p. 119; t. XXXVIII, p. 93; t. L, p. a^) gauches (skew, gobbo ) .

(*) Cayley, Journal de Crelle, t. XXXVIII, p. 95. La démonstration donnée dans cet endroit ne lève pas toutes les difficultés. >£

2, 3,..., h, à l'exclusion de i. D'après la règle trouvée pour la décomposition de ^R , ^oc iyi peut se décomposer en n — 3 termes, dont chacun est le produit d'un élément par la racine d'un semblable déterminant de degré n — 4> et ainsi de suite. Or la racine carrée d'un semblable déterminant du second degré est rationnelle, car la racine de

Ou,u "us

est ici a HyV ou a ¥fU . D'après cela, \/R se présente sous la forme d'une somme, que l'on prendra positivement ou négativement, et composée de

termes ; chacun de ces termes est un produit de - éléments,

dont les indices sont tous différents entre eux, de sorte que l'ensemble des premiers et des seconds indices forme une permutation des nombres i y i , . • . , n .

Pour premier terme de cette somme, on trouve

puisque, d'après la règle précédente, on obtient successivement, en effectuant le développement,

B = a i>6 C -h . . . , etc.

Et en effet,

("l,3 «3,4 • • • 1n-ljà*= ( ~ l) 2 >'*\,7 «2,1 O z>i tf 4>3 .'. . «„,,„ «„,»,

THÉOllE DBS DÉTERMINANTS. 55

est un terme positif du déterminant R, garce que les permutations

appartiennent ou n'appartiennent pas à la même classe,

selon que - est pair ou impair.