Théorème. — L'expression

dont le carré est égal au déterminant R considéré ci-dessus, prend la valeur- opposée quand on échange entre eux deux indices, et s'annule identiquement quand deux indices sont égaux entre eux (*}.

Démonstration. — En désignant par S t ce que devient S lorsqu'on y échange entre eux les indices i et A", SJ sera ce que devient le déterminant R par l'échange des mêmes indices. Or i et k entrent dans R tant comme premiers indices que comme seconds indices, et partant R n'est pas altéré par cet échange (§ H, 4 ) ; on a donc S] = S*. Par suite de cette identité, les termes de Si sont égaux respectivement aux termes de S, et sont tous de mêmes signes ©u tous de signes contraires, suivant qu'un terme de S 4 et son égal dans S sont de même signe ou de signe contraire. Or, en désignant par a ijk B la somme des termes de S où, entre Félémeiit a iyk , B ne contiendra que des éléments ayant leurs deux indices différents de i et de k (1)*, par conséquent, par l'échange de 1 et de A, a tik B se change en a lfi B.

(*) L'expression S a été introduite par Jacobi {Journal de Crelle, t. II, p. 354 i XXIX, p. 236), qui s'en est servi en traitant de la méthode d'intégration de Pfaff, et Cayley {lot. cit.) Va désignée récemment sous le nom de PfaffUn. Ses propriétés ont été énoncées par Jacobi sans démonstration, et sans la relation fondamentale S' — R.

Les termes û,,*B, de S, et tf*, t B, de Si, sont égaux et de signe contraire, puisque a kii = — a i>k 5 par suite S et S f sont aussi égaux et de signe contraire.

Si les indices 1 et k sont égaux, S t est égal identiquement npn-seujement à — S, mais aussi à S*, donc S est identiquement nul.

3. L'expression dont le carré est un déterminant de l'espèce que nous considérons ici, peut sans ambiguïté être désignée, ainsi que le fait Jacobi, par la série des indices des éléments de son premier terme, laquelle est identique avjec les séries des premiers et des seconds indices des éléments du déterminant. Le symbole

désigne, d'après cela, la somme commençant par le terme principal a i>t a 9fk . . . #„!,„, et dont le carré forme le déterminant

toujours dans l'hypothèse où l'on a a k?i = —r a itk , a ifi == o, et n pair. Il résulte du théorème précédent que l'on a

etc. On peut donc prendre pour y^R , en général, soit

(1, 2, 3, ...,«), soit encore

ou toute autre permutation de ces indices, puisque ces différents symboles ne peuvent être qu'égaux au signe

près.

De même, s/<*,,i peut être représenté (1) par une permu-

THÉORIE DBS DÉTERMINANTS. 5j

talion quelconque des indices 2,3,..., n 7 k l'exclusion de i, tant que l'on considère cette expression isolément. Cependant, comme on doit avoir, en ayant égard aux signes,

et par conséquent.

VS = 2 «1,1 Va/./ »

il faut donner aux termes de cette somme des signes déterminés, de manière que le signe de la somme reste seul indéterminé.

4. Théorème. — Pour le développement successif de l'expression (i, 2,..., tï), on peut se servir de l'identité

la suite des indices entre parenthèses se déduisant de 2, 3,. . . , n par des permutations circulaires, en excluant chaque fois l'indice qui se trouverait le dernier (*).

Démonstration. — En posant (3)

sfc~iz=z(— i)'"(2, 3,..:, 1 — 1, /+i,.. , /i), et de même

^M = { — 1)*(2, 3,..,, A-i, X+i, .., n),le produit (i)'+*( 2 , 3,..., 1 — 1, i+i,..., /1) (2, 3,..., A ■— 1, A+i,..., ».)

(*^ yjACOBi et Ca yley (/oc. c/7. ) ont employé celte identité comme définition dé (1,2, . . . , n). .

se composera des mêmes termes que a,,* ou que — <x v ,i T : puisque a f y <x kfk est identique avec a£j. D'après la aolatio*» de Vahoennonde, on a (§ III, 5)

la suite dçs premiers indices ne contenant ni i , ni i, et celle des seconds, indices ne contenant ni i ni h. En désignant par

les n — 3 antres indices qui font partie à la fois des deux suites, on sait (§11,4) que le rapport

est égal à une puissance déterminée de — i. Ce rapport est le même que celui du produit

au produit

Donc le déterminant

et le produit

ont la même valeur absolue. Le premier terme

du déterminant, et le premier terme

ak, P a t] ,r • • • a u ,* a P ,q • • • <*>?,$ <*t,i du produit sont de même signe -, donc le déterminante le

produit sont aussi de même signe. Il s'ensuit de là que V«/,iV**,* coïncidera avec a, jt en grandeur et en signe, si l'on pose

ou, après i — 2 permutations circulaires (3) ,

Par cette substitution, on obtient ( { )

^fl|,tV«f,# = g|,»(3, . . .,/2)"H-«,, 8 (4, ...,*, 2 )■+-.. .

pour une valeur de ^R que nous devrons désigner par

comme on s'en assure par l'identité des termes initiaux de «i,t (3, . • .,/i) etde (1, 2, . . ., u).

Exemples :

«Il

. a St

)«I2 «34 «56 H" «I» «35 «<M "H «12 «36 «45 \* -f- «13 «45 «62 + «13 «46 «25 4" «13 «42 «56 f __ -h a l4 fl 5e r/ 23 -f- a {i a„ a 36 -f- a l4 a^ a 62 > .

|-|- fl, 5 «62 «34 4" «15 ««3 «<î ■+" «| 4 « 64 «23 I

- n lH a ÎS a hh -f- «.« «21 «53 -H «i« «« «s* /

6o et

=:(ad-be + cf)\

= (nrf-h be-\-cfy

5. Le coefficient de #,-,*, dans le déterminant R que nous considérons ici, est (§ III, 9)

2 da it k da it k

Le coefficient de a ifi dans R, lequel est exprimé générale-

ment par - — > s'évanouit dans ce cas (§ III, 9). Or, si l'on

ordonne R par rapport aux. éléments d'une ligne horizontale, on a (§ ELI, 1), en divisant par le facteur commun ^R 9

' * ai ' n ~XT ' da i>n

d>JK d^R

* o = a iti - h ... -+- a if n — - ( ),

* dùk,\ dak,n

formules où Ton devra supposer — — - = o.

En posant (3)

= Qi,\ (2, . . . , n) -f- fi,-,* ( 3, .#■ . . , «, i ) 4- • • • >

(*) Jacobi, loc. cit.

•THÉORIE DES DÉTERMINANTS. 6l

on trouvé

d fà ,, , i, ,

2 et h étant exclus du cycle des indices.

6. Théorème. — En désignant par D la valeur que prend le déterminant R des éléments quelconques a 1>t , .».,«„„, lorsque les éléments

s'annulent, et, de plus,

Par. D, la valeur que prend D, lorsqu'on supprime la ligne horizontale et la ligne verticale qui contiennent l'élément a,-,,-;

Par D <jt la valeur que prend D, lorsqu'on supprime les lignes qui contiennent les éléments a iyi et a hy i\ et ainsi de suite ;

On a alors

r = d •+- 2 **** D * -** 2 at,i ûktk D/ '* "*" 2 au akk au Da/ ■*■ • • •

en remplaçant successivement i par toutes les valeurs i, a, . . . , n , puis i, h par toutes les combinaisons binaires de ces valeurs ; i, /c, / par toutes leurs combinaisons ternaires, et ainsi de suite (*).

Démonstration. — Les termes de R qui ne contiennent aucun des éléments a 1}l9 a t>t9 ..., coïncident avec lés termes de D. Les termes de R, qui contiennent un settî de ces éléments, coïncident avec les termes de la somme*

fli,jD 1 + fl 2 , î D 2 4-...+« M D I ,.

(*) Cayley, Journal de Crellc, t. XXXVIIf , p. g3 .

6a PREMIÈRE PARTIE. § VIII.

Car du coefficient de a iti dans R on formera D, (§ III, S) , en annulant les éléments a,,!, « t>t , . . ., a nfn . De même, les termes de R qui contiennent deux des éléments en question, coïncident avec les termes de la somme

fl| 1 |fll,îDt,J + fl| ) |fl3 ) 3D|,3 + '..

et ainsi de suite. De cette manière aucun] des termes de R ne se trouve omis ni répété deux fois.