Si les éléments du déterminant R sont tels, que l'on ait

on aura (6)

R = *•+ z»-> ]£d 2 -h ^2D 4 +. ..(*), la quantité

étant un déterminant partiel du degré m , dont les éléments sont assujettis aux conditions

et 2 D m désignant la somme des déterminants qui se déduisent de D m , en remplaçant les indices i", fc, . . ., par toutes les combinaisons m à m des nombres de la suite 1^2, . . . , n. Pour m impair, D m est nul (§ III, 9) •, pour m pair, on a (3)

et par suite 2D m est la somme de ( 1 carrés.

( * ) Cayley, loc. cit. Compar. Journal de Crelle, t. L, p. ayy .

Exemples :

«jl Z tf 2 3 *«

"«41 a ki rt 43 Z

= z«-z'(«^4-«^4-«^«î 3 +"^+tf 3 : <)

H- («u«:»« 4" «ir.^is-h^M^îD) 3 .

§ IX. — Résolution d'un système d'équations linéaires.

\ . Théorème. — Les n inconnues x t , x t , . , . , x n étant données par les n équations

a,,, x x -f- a lt7 z 2 -\-. . ,-\-a ifn ac n = u X i

a H ,\ x x -f- a ni i x 2 -f- . . . -f- a n>n x n = u n ;

si l'on pose

a tfX < . . a {fl R =

et que l'on désigne par a,,* le coefficient de a ifk dans R, on aura

Rtf* = M,a,,*4-a 2 a 2 ,*-4-. . . -h »„<*„,* (*).

Cette expression se déduit de R par la substitution de n n i/ î? . . ., u n au lieu de a ifk , a tji , . . ., a nfl . Le déter- ' minant des coefficients des inconnues s'appelle le dètermU nant du système d'équations linéaires (**).

Démonstration. — En multipliant les équations don-

(*) Cette résolution a été indiquée pour la première fois par Leibniz, puis découverte de nouveau par Cramer {voir § 1 et II). (**) Jacobi, Del.,-].

APPLICATIONS DES DETEBMINANTS. 65

nées respectivement par

et ajoutant les équations obtenues, on obtient pour le coefficient de x k ,

et , pour le coefficient de x t ,

fli l i«i,|-r«U«ï l » + .. •+^,««1.,*=° ( § III, 1) .

2. Si le déterminant du système linéaire s'annule, Tes inconnues prendront en général des valeurs infinies, c'està-dire que leséquationsdonnées seront incompatibles, et, par suite, qu'elles ne sont pas indépendantes les unes des autres. La contradiction entre les équations données sera levée, si Ton introduit la condition

qui est vérifiée pour toutes les valeurs de £, puisque les rapports a tji : a fjk : . . . sont indépendants de k (§ VII, 5). Alors le système des équations données est indéterminé, et chacune de ces équations peut se déduire des autres.

3. Si les quantités u t i u t , . . . , u n s'annulent, les inconnues s'annuleront aussi en général , c'est-à-dire que les équations données seront incompatibles, et, par suite, qu'elles ne seront pas indépendantes les unes des autres. La contradiction entre les équations données sera levée dans ce cas par la condition que le déterminant R du système linéaire s'annule. L'équation

s'appelle la résultante des équations linéaires u t = o,

M,= 0, • ..,M rt = (*).

(*) D'après Bezout, Histoire de l'Académie de Paris, 1764, p. 288.

Si la condition R = o est remplie, le système est indéterminé, et les équations données sont satisfaites par la proportion

i désignant un indice quelconque (§ VII, 5). Car, en vertu de l' équation

fl*,ia«M -f-^M a i,2-+-'

qui a lieu, non-seulement pour des valeurs différentes de i e\Àëh (§111, 1), mais encore,par hypothèse, pour i=k, on a, pour chaque valeur de k prise dans la suite i , a, . . . , »,

Exemple. — Les équations

a x-+-b jr -\- c z=o, ou a, or -h b x y -4- c, z = o, a 2 x-\-b 7 y -+- 0,3 = 0,

sont compatibles, si Ton a

abc «1 b x c, n 2 £ a c,

A cette condition, on a

a u-tr b o-f-c =0, a x u -+- b x v -h c, =0, « ? m -h £2 ? -h ^ 1 = o ,

tf. b t

(*) Jacobi, De/., 7.

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. 6j

4. Si les coefficients du système considéré dans l'art. 1 sont tels, que Ton ait

et si /* est jmir, alors, d'après les propositions et les notations du § VIII, on a la solution plus simple

(— i)*(i,2,\. .,n)x à = «, (2, *..,* — i, /H-i^ .., /*)-4-tt* (3, ..., X — i,*-M,...,/ï, t

En effet, en multipliant les équations données respectivement par

(2,... ,*— 1,*-+- 1,... ,*), (3,..., X~i,X-hij..., «,i),.i.j

et ajoutant les résultats, x h se trouve avoir pour coefficient

ai,*(a,...,ii)4-as,*(3,...,* 9 1) + . . .-t- a m ,k(i 9 — 9 * — i);

et la valetir de cette expression, en remplaçant a iik par — fl*,i , a*,i par — tf* jt » etc., peut être représentée par

(§ VIII, 4). En remplaçant encore l'indice k successivement par 1, 2, . . .,/r — 1, on obtient, pour le coefficient cherché (§VHI, 2),

(-i)*(i,îi,. ..,*)*

Au contraire x, a pour coefficient, dans la somme en question ,

expression identiquement nulle (§ VIII, 2) .

(*) Jacobi, Journal de Cr elle, t. II, p. 35C.

5. Si les coefficients du système linéaire sont tels, que Ton ait

et que n soit impair, on à alors R = o (§ III, 9) , et les équations données ne sont compatibles que si Ton a (2)

Kiai J * + « î a,,i + . . .-ha B a„,* = o.

À cause de l'identité a ifk = V««y «*,* (§ VII, 5) , cette condition se réduit à la suivante ,

ou, en substituant la valeur

V^=(/-+- i ,it,i, . .,/— i)(§VIII,4),

Exemple. — Des trois équations

* cy — bz =/ r

— <?.r * -h az = g 9

b.r — ay * = h ,

une quelconque est la conséquence des deux autres, si Ton a

of -\- bg -\- ch = o :

sinon, chacune est contradictoire avec les deux autres.

Remarque. — Si les coefficients du système linéaire (1)

sont tels, que Ton ait a iyk = a '7' ? on obtient encore dans ce

cas une solution particulière [voir ci-après, § XII, 5, 6].

(*) Jacobi, lue. cit.

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. 6g

§ X. — Théorèmes sur les équations différentielles linéaires.

1. Les coefficients d'une équation différentielle linéaire de Tordre n } qui ne contient pas de terme indépendant de la fonction, peuvent, comme Libri l'a remarqué (*), se composer au moyen de n intégrales particulières de l'équation, de la même manière que les coefficients d'une équation algébrique se composent avec ses racines. En effets si l'on désigne par y i9 y % , . . . , y n des intégrales particulières de l'équation différentielle linéaire

yW étant le quotient différentiel d'ordre i de la fonction^, et les quantités a , a i9 ..., a n étant indépendantes de /? y 1 '»•• • * formons avec les i er % 2 e8 ,..., n iimet quotients différentiels dey i9 y t , . . . , le déterminant

y* yi,\ • • 'Xi,n— 1 y t. y 2,i' • y7,n—i

yn yn t \ • • 'yn,n—\

y^ h désignant le k ieme quotient différentiel de y ( . Si Ton désigne maintenant le coefficient de y iyk dans B n par

>V = gl($III,7),onaur a

Démonstration. — On a, par hypothèse, pour déter-

(*) Journal de Crelle, t. X, p. 189. Les coefficients ont été déterminés par Libri d'une manière moins simple. Libri a bien indiqué la méthode directe pour leur détermination, mais il ne l'a point développée.

(**) Rrioschi, Dci. t p. 81 (p. 96 de la trad. franc.)-

yO SECONDE PARTIE, § X.

miner les coefficients a , a, , . . . , a nf le système d'équations linéaires

<*.r«+- «I/M + - • . + tf n -i/i ( »-i = -^ri (B ,

par la résolution duquel (§1X, 1) on trouve pour a L la valeur que nous avons donnée, La détermination des coefficients ne réussit pas, lorsque les intégrales particulières données dépendent les unes des autres, de telle façon que r<maitR„ = o(§IX,2).

2. Le déterminant R rt peut s'exprimer au moyen des coefficients dey (n ~ i) et de y< n K On a, d'après les suppositions admises,

Le second membre de cette équation a pour valeur-— (§ III, 10) -, on a par conséquent

__ = -, logB.= -J* f