Si l'on pose

f\x) = tf -f- a K x -+- n 2 x 7 H-. . .-hdr n x",

et que a t , a a , . ..,a„ soient les racines de l'équation f(x) = o, alors, d'après le §XI, 1,

z et A étant des nombres différents de la suite i, i^ i%%y9 n, sera la condition nécessaire et suffisante pour que deux quelconques des racines a t , a t , . . . , <x n soient égales entre «lies. [& produit de toutes les différences, positive^ çt négatives, des racines, produit que l'on peut représenter (Ô)

APPLICATIOJSS DES DETERMINANTS.

par

âte

a été appelé récemment le déterminant de l'équation f(x)=o (*), parce que sa valeur nulle indique l'existence de racines égales dans l'équation, et que, lorsqu'il n est pas nul, on peut décider, d'après son signe, si, parmi les carrés des différences des racines, il y en a un nombre pair ou un nombre impair qui sont négatifs, c'est-à-dire si l'équation a un nombre pair ou un nombre impair de couples de racines complexes.

10. Pour représenter le déterminant de l'équation f(x) ■= o sous* la forme d'une fonction rationnelle des quantités

on peut exprimer, au moyen des quantités données, les .sommes des premières, des deuxièmes, des troisièmes, . . . puissances des racines, c'est-à-dire, s v , s t , . . . , s n (**), ou l'on peut transformer le déterminant

dc telle sorte que les relations établies par Newton (***)

(*) Gatos, Démons tr. nova altéra, 6(Comm. Gœtt., vol. III). (**) An moyen des formules données par Girard, en 1629. Voir Klugel, Dictionnaire de Mathématiques, art. Algèbre, p. 56

(***) Arithmétique universelle, éd. S'Gravesandc, p. 19 > .

Iû6 SECONDE PARTIE, § XII. , ;

entre s , s t , s t , . . . conduisent à l'élimination . 4$ CÇ? dernières quantités. Pour employer ce dernier mo^eb^obàpgeons le déterminant donné, de degré n, dans le ^J&fminant suivant, de degré sn — 2 (§11, 6) , ;^" l -i' " ■ •

Ajoutons maintenant, à la seconde ligne verticale, le produit de la première ligne verticale par -^ ! ; à la troisième

ligne verticale, le produit de la seconde par -^' et celui

de la première par -j- 2 \ à la quatrième ligne verticale, le

produit de la troisième par -^ , celui de la deuxième par

-^> et celui de la première par -^ : - 3 ; et ainsi de suite. On a ainsi

ff„j

tf„~.

tf.V, -U fl ,$. .-

<l n So

"« *.i "H rt/1-1 .^j -h 1 n -i*i • • •

A laide des identités

(n — 1) a w , =a n s t -+- *„, j , (3-— 2) a u ^ 2 =za n s 2 ^a n ^ i s t -+-««-^0, (n — 3)û b -3 = ^«*3-H««-i fi-r-««aJi -4-««-3^> etc.,'. . .,

les éléments du dernier déterminant peuvent s'exprimer de telle sorte que, dans chaque élément, il n'entre qu'un seul des coefficients a , a x , . . . , a n à la première puissance.

On reconnaît ainsi que le déterminant de l'équation f(x) = o est une fonction rationnelle et entière, du degré an — a, des quantités

qui devient homogène en la multipliant par a***""' (*).

H. Sif(x) est divisible par (x — a*)*, la fonction dérivée f'(x) sera divisible par (x — a*)*"" 1 »/" ( x ) ' e sera par (x — ai) *"*, et ainsi de suite. Par conséquent, lorsque a k sera une racine du degré de multiplicité h de l'équation f(x) = o, les équations

auront la racine commune a k , qui entrera Àr — i fois dans f (x) = o, h — 2 fois dans/" (x) = o, etc.

En supposant maintenant qnef ,f (x) ne s'évanouisse pas en même temps quef(x) et/ (x), soit R = o la résultante des équations f(x) = o et/' (x) = o ; R ne différera du déterminant de l'équation/ (x) =o que par un facteur indépen-

(*) Cette remarque a été faite en partie par Joachimsthal, Journal de Crêlle, t. XXXIII, p. 37 1, puis complétée par Jaeobi, Journal de Crelle, t. XL, p. 344.

108 SECOJMDE PARTIE, § XII.

dant de — > — » • • • 5 -^- La quantité R est, en effet, une a n a n a n ^

fonction rationnelle et entière des quantités

et elle est d'un degré inférieur à in — i , parce que, en vertu des équations données/"^) =b et j 1 (x) = o, les coefficients de f(x) ne sont pas indépendants entre eux ('voir § XI, 2-4). Mais on peut considérer R = o comme la résultante des équations de degré n — i ,

/'(.r) = 0, nf(x)-rf[x)=0,

puisque f(x) s'annule nécessairement en même temps que /' (x) et nf(x) — xj' (x). Les coefficients de chacune de ces dernières équations sont indépendants entre eux; donc R est une fonction rationnelle et entière du degré n — 2 (§ XI, 4), des quantités

Le déterminant de l'équation f(x) = o est également une fonction rationnelle et entière des quantités

qidu degré ^^2 (10). Actuellement le déterminant de réquation/*(;r) ==0 ne peut s'annuler sans que deux racines de l'équation f(x) = o ne soient égales entre elles, ou que les équations f(x) = et /' (x) = o n'aient une racine commune, ou que R ne s'annule. Donc le déterminant de l'équation f(x) = o ne peut différer de R que par un facteur indépendant des rapports des coefficients de f (x) .

En réalité, le procédé indiqué dans l'art. 10 pour la formation du déterminant de l'équation f(x) = o coïncide

APPLICATIONS DES DÉTEUMIWAJNTS. 109

entièrement avec la méthode par laquelle Euler et Bezout ont formé la résultante des équations

/' (x) =0, nf{x) — xf [x)z=o

( § XI), 4 . En appliquant la méthode abrégée d'élimination de Bezout (§XI, 5), on trouve le déterminant cherché sous , une forme plus concise. Les formes particulières que Ton a établies pour les déterminants des équations de degrés particuliers, se trouvent dans un Mémoire de Tortolini (AnnalidiSc. matem. Roma, novembre i855).

12. Au lieu de la fonction f(x), on peut considérer la fonction homogène

?(*)7) = ff or B + fl i/"** ,j: + - • •+**-« J.**- 1 -t- a n x n , ou

qui est identique avec f[x) pour j= i (*). Les coefficients binomiaux ont été donnés comme facteurs aux coefficients de la fonction, afin que l'égalité de toutes les racines de r équation f(x) = o ou <f (x,y) = o ait lieu dans le cas où

forment une progression géométrique. En remplaçante/^) par <f (x, i), on a, au lieu de/^x),

dy(x, i) dx

(*) Cet important artifice d'analyse a été employé par Plûcker, Siyst. der analyt. geom., § 1, 7; parHesse, Journal de Crelle, t. XXVIH, p. 102; par Joàchimsthal, Journal de Crelle, t. XXXIII, p. 373 ; par Jacobi, Journal de Crelle, t. XL, p. 2/17, et par d'autres ; et pour l'objet actuel, par Salmon, Higher plane curves, p. 396.

et comme, d'après le théorème d'Euler, on a

il viendra, au lieu de nf(x) — xf ( x) ,

dtf(x, i)

où l'on fait/ = i après la différent! a tion. Si R=±o est la résultante des équations

dy{.x n i) __ dff (x, i)

</* ~°' dy ~°'

alors, d'après (11) , R sera, à cela près d'un certain facteur numérique, le déterminant de l'équation ç(*,i) = o(*).

On trouve, d'une manière analogue, pour l'égalité de trois racines, au lieu des conditions f(x) =o,f (x) = o, f n (x) = o, les conditions

aPy(ar,i) __ <**?(*, Q __ d 2 y(.r, i) __

d* ~° 9 dxdy ~ ' <r> ~ o;

pour l'égalité de quatre racines,

dx 3 ~~°' dx'dy ~°' dxdy* ~~~ °' dy' ~~°*

et ainsi de suite.

13. Le déterminant de l'équation /(x) = o est le terme connu de l'équation dont les racines sont les différences entre les racines de l'équation donnée (**).

(*) Soient »,, u s ,...,u n les quotients différentiels partiels de la fonction homogène u, de n variables; si R=o est la résultante des équations u t = o, u, = o>. . . , u n = o, R sera ce que Sylvester appelle le discriminant delà fonction homogène (Philosophical Magazine, i85i, t. II, p. 406).

(**) Cette équation, connue sous le nom adéquation aux carrés des différences, a été employée par Waring {Mise, anal? t., 1762), dans la recher-

Si x prend, en vertu de l'équation/ (x) = o, les valeurs

a prendra, en vertu de l'équation/ (x -h«)=o, les valeurs

D'après cela, en vertu des deux équations f[x -f- u) = o etf(x) = o, u prendra toutes les valeurs qui se déduisent de a, — a*, en remplaçant i et A par tous les nombres de la suite i , 2, . . . , n. Si Ton désigne maintenant par V (u) = o la résultante des équations f (x) = o et f (x -h u) = o, V(u) sera une fonction rationnelle et entière de u, du degré ri* (§XI, 2), puisque les coefficients de x dans f[x-\-u) atteignent et ne surpassent pas le degré n par rapport à u. V (u) s'annule lorsqu'on donne à u une des n* valeurs a, — a*; par conséquent V(u) = o est l'équation cherchée aux différences des racines^ ce) = o.

La différence a 4 - — a k étant nulle pour i = k y l'équation V(w) = o aura n racines nulles, et par suite V(u) sera divisible par u n . Les autres racines de cette équation sont en général différentes de zéro, et opposées deux à deux 3 donc

est une fonction paire de u du degré n (n — 1), ou une

fonction de u* du degré

che des racines d'une équation donnée. Dans les Transactions philosophiques, 1763, p. 294, Waring a fait connaître, sans démonstration, les équations aux différences des racines des équations du 4 e et du 5 e degré, avec les caractères qui en résultent pour la réalité des racines de ces dernières équations. L'équation aux différences des racines d'une équation donnée a été traitée avec développement par Lagrange ( Histoire de V Académie de Berlin, 1767, p. 3H, art. 8, et Résolution des équations numériques^ art. 8 et 96).