II Î4 SFXOJVDK PARTIE, § XIII

Gomme on a, par le théorème de Taylor,

=/(")+xn«) + -^/''(io +

V (m) = o est évidemment la résultante des équations

et

la résultante des équations

En faisant, dans cette dernière, u = o, on obtient la résultante des équations f(x) = o et/' (x) = o, c'est-à-dire la condition pour que deux racines au moins de l'équation f(af) = o soient égales entre elles (H ).

§ XIII. — Des déterminants fonctionnels.

1. Etant données n fonctions/ij/i,. ..,,/„ des n variables x u Xi, . . . , x n , etfi,k désignant la dérivée partielle de fi par rapport à la variable jr*, de sorte que

, 4fi

dx k

le déterminant de degré n,

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. Il3

s'appelle le déterrrtinant du système des fonctions données ou le déterminant fonctionnel du système ( *) . Ce déterminant se réduit à un déterminant de degré inférieur, lorsque, par exemple, f x ne dépend que de x u f t que dex t et de Xt (§ II, 5). Le déterminant fonctionnel se réduit à son terme initial, lorsque f est une fonction de x iy f une fonction de x x et de x t9 f 9 une fonction de x u de x 9 et de •r 8 , et ainsi de suite (§ II, 7).

2. Soi t/i une des. n fonctions données de x t , x t , . . . , x n , dans laquelle la variable x x ne manque pas : alors x x est une fonction déterminée de/i , x% , . . . , x n . Soit/i une des fonctions restantes, dans laquelle la variable x f ne manque pas, après que x t a été exprimée au moyen de/i, x t , . . ., x n : alors x t est une fonction déterminée def,ft , x s , . • . , x n . Soit/ 8 une des fonctions restantes, dans laquelle la variable x 8 ne manque pas, après que x x a été exprimée au moyen de/j , a:,,. . ., x n , et x t au moyen de/ t ,/, , x 8 ,. . ., x n : alors a: 8 est une fonction déterminée àef u f^f ty #4,..., x n . Et ainsi de suite. D'après cela, on peut considérer, quoique en général implicitement,

/, comme fonction de x u x 29 «r 3 , , .r„,

^y * /a de /,, .r,, *,, , x H ,

yâ • ^ yi) y j» ■ r s> 1 x Tf>

fn ( * e f\y fit f*i • • • » /n-D *w

En entourant de parenthèses les dérivées partielles des/* fonctions ainsi transformées, pour les distinguer des déri- * vées partielles des fonctions données, on obtient le déterminant fonctionnel du système proposé sousla forme du produit ,

\dx) \y*J'*v* ny r )'

(*) Jacobi, Dé determinantihus functionalibus {Journal de CreW', t. XXII, p. 319), § 5.

(**) Jacôbi, Det.funct., § 8.

Il4 SECONDE PARTIE, § XIII.

f ^ J n'étant pas différent de Jf-, tandis que (-p\ diffère

df •"""

de -^en ce que yi est considéré, dans le premier cas,

comme une fonction de/i, x s , . . . , jr„, et dans le second, comme une fonction de x u x t , . . . , x n ; et ainsi de suite.

Démonstration. — D'après la supposition faite sur/J, on a On a donc (§ VI, i)

d A dx x

dx t

dx„

mm-

\dxj \dx 2 ) \dxj \dxj \dxj '

Les deux derniers déterminants se réduisent à leurs termes initiaux (§11, 7) ^ l'un a pour valeur l'unité, l'autre est égal au produit ci -dessus.

3. Théorème. — Si le déterminant R du système de .^fonctions fuf%). . ^f n s'annule identiquement, les fonctions données ne sont pas indépendantes les unes des autres, et réciproquement (*).

Ùémonstration. — Si le déterminant R s'évanouit identiquement, il faut qu'un des facteurs du produit (2)

(*) Jacobi, Det.Junct., §§ 6 et 7.

s'annule identiquement. Or les quantités

sont, en général, différentes de zéro, puisque, par hypothèse (2),/i contient la variable x iy f t la variable x 9 ,'.... Il faut donc que ce soit

\ dx„ )

qui s'annule identiquement, c'est-à-dire que la demi ère fonction^ doit pouvoir s'exprimer indépendamment de x n , au moyen à.ef\ y fi ,» . • ,/n-i seulement. Mais il peut aussi se faire que ar„, et x n n'entrent dans aucune des deux dernières fonctions, après que Jion a exprimé la variante x, au jpooyen de^i, x f , . . . , x n \ la variable x f au moyen def tJ f t , x z . . . ,x n ,. . . , et enfin la variable a:„ t au moyen de /i,. . .ifn-uXn-u x„. Dans ce cas, la quantité

doit aussi s'annuler identiquement, c'est-à-dire que chacune des deux dernières fonctions f n -\yf n doit pouvoir s'exprimer indépendamment de x„__i, x n , au moyen de fn ft » • ■ • >fn~t seulement. Et ainsi de suite.

Réciproquement, si les fonctions données ne sont pas indépendantes les unes des autres, mais que^, par exemple, soit exprimable en/i,^, . . . , f n x seulement, sans jc n ,

alors I -j? ) est identiquement nul, et par suite il en est de

même de R.

Cas particuliers. — Si./n,/i> • • • >./n sont des fonctions linéaires de x i9 Xi, . . . , #„, le déterminant de leur système < jie diffère pas de celui des équations linéaires (§ IX, 1)

Il6 SECONDE PARTIE, $ XIII.

Dans le cas où ce déterminant s'annule, Tune des fonctions données est exprimable au moyen des autres, en vertu d'une équation linéaire de la forme

Ci/i -+-r,/ 2 -f- . .. +c m f m = o,

ei les équations données ne sont pas indépendantes entre elles (§ IX, 2).

Si /i, fi, . . . > f n désignent les dérivées partielles d'une fonction F, le déterminant fonctionnel R n'est autre chose que le déterminant des dérivées partielles du second ordre de F, et a été appelé par Hesse (Journal de Cr elle, t. XXVIII, p. 83), pour abréger, le déterminant de F. Le même déterminant fonctionnel a été nommé par Sylvester (Cambr. and Dublin math. Journal^ï^Sl, p. 186) le Hessien (Hessian) de F. Lorsque, en particulier, les dérivées, pai~ tielles de F sont liées par une équation linéaire de la forme

<?■/. -h Cifi -4- . . . •+- c n / n = o ,

le déterminant de F s'évanouit identiquement; et parla substitution linéaire

F se change en une fonction des variables j u y % , . . . ,y n ^ x ^ à cause de

dY „ dx, „ dx n

Voir Hesse, Journal de Crelle, t. XLII, p. 117.

4. Soit U une fonction donnée des quantités/!, /„ . . ^/à*. chacune de celles-ci étant une fonction dotinée des ijdaô-

ÀPPLICATIOAS DES DÉTERMIJNÀHTS. H7

tités x>, x,, . . . , x n ; soit, de plus, R le déterminant fonctionnel

//!,» • • • Jn.i

^intégrale multiple

fvd/ l d/ 2 ...d/ n est égale, en valeur absolue, à l'intégrale I JJKdx t dx 7 . . . dx n>

les limites des nouvelles intégrations devanl^^tfe déterminées au moyen des limites données des in|ég£a^ions primitives (*). ^ a

Démonstration. — Considérons d'abord; comme cidessus,

f t comme une fonction de x x , .r., , .r 3 , . . , x n ;

fi tle/i, x a , x 3 , . . . , x n ;

J3 ••••••• «e yî , -yà > «^3 » • • • > «**« î

de/,, /,,.-. . /«,, .r„,

et distinguons les dérivées partielles des fonctions transformées en- les entourant de parenthèses : on pourra introduire successivement, comme il suit, les nouvelles variables dans l'intégrale donnée.

En commençant par intégrer par rapport hf n , il faudra

(-* ) La transformation d'une intégrale multiple a été effectuée pour la première fois par Euler, 1759, Nov, Comm. Petrop., 14» I> p. 72. Peu de tempe après, Lagrange ( M émoires de V Académie de Berlin, 1773, p. ia5)a traité la transformation d'une intégrale triple par une méthode applicable au cas général. La transformation d'une intégrale multiple en général est due à Jacobi (Journal deCrelle, t. XII, p. 38, et Det. Junct., § 19).

1 1 8 SKCOJNDK PARTIE, § XIII.

remplacer la différentielle df n par f ^ JL \ dx n , pour introduire, au lieu de la variable/,, la variable x n . On a d'aprèjSV cela --,iVj

Jvdf [ df i ...df n = jv (^d/ l ...df^ l dx n . ^j^'

En commençant le développement de cette intégrale transformée par l'intégration relative à /„!, on devra remplacer dfn^ par ( ■ "~' \ dx n x , pour introduire, au lieu de la variable^^,, la variable x„, , ce qui donne

En continuant ainsi, on obtient finalement

Mais le produit des dérivées artificielles qui supposent les transformations ci-dessus, n'est autre chose que le déterminant des fonctions données /^/i,. . . ,f n (2).

5. On parvient à la même règle en poursuivant la méthode que Lagrange a employée (/. c.) pour la transformation d'une intégrale triple.

fi,fî<, • . • , f n étant des fonctions des vaViables '*•

•El j •Eli • • • > •En y

on a le système des équations linéaires

dfn ~=fn t \dx K -h/„,^d.r 7 -h . . . -hf„, n d.r n .

APPLrcATIOJNS DES DETERMINANTS. I 19

La résolution de ce système donne (§ SÇ^ty

en posant

y«, 1 • • • Jn,i

et désignant par <p iik le coefficient de /),*, c'est-à-dire de -y-î

dans R n , de sorte que, en particulier, ç n>n = B„, (§ III, 5) . Soit maintenant

f'tîâ%df 1 ...df m

l'intégrale multiple à calculer, et U une fonction donnée de/i,yj, . . . , f n . Si, dans la suite des intégrations à effectuer, on commence par l'intégration relative à f n , on a à chercher la somme de la différentielle Udf n , avec la condition que /ij/s,. .., fn^t restent constantes. D'après cette condition, on a, dans le système précédent d'équations linéaires,

4/I = o, rf/ 2 = o,..., <//,, = o, et par conséquent "*\* v " c —

Rn-, d/ n = R R rfj7 a ,

œ! sorte que l'on peut remplacer df n par — — dx R . On a pa> co^équent

Rn— t

■ - jUdf x ...df m = J\l^-dJ x ...df n x d.v n ,

► les limites de x n devant être déterminées d'après le» limites données à$f n . Si Ton commence le développement de Tin-

tégrale ainsi transformée par l'intégration relative à la variable/,,^, on a à chercher la somme de la différentielle

U ^-^- fl^M-i îfnft'i • • • ? fn-*i x n restant invariables. Mais on a, dans cette supposition,

<//, = o,..., df n „ 2 =:o 9 dx n = o,

et par suite on a le système de n — i équations linéaires

o=/,, dx x -h. . . -h/, n -, dx,^,

O ~f n -.2 A dx s -h . . . +/n j, B -i ^n-i ,

<*/«-i =f n -i,i dx y -+- . „ v *t<- f & r ,,„, dx^. On en tire, comme ci-dessus,

de sorte que Ton peut remplacer df n t par -^ dx n l% et

U — ^- ^/i,«i par U «-^- dx n ^i. On a donc, en prenant d«s

limites convenables,

j£^j*i rf/,,. <*/, <*r n = fui^,.., #«**-. dx n .

L'expression qu'on vient de trouver pour l'intégrale multiple cherchée peut se transformer par des considérations analogues, en remplaçant, en vertu d'un système de n — 2

équations linéaires, df n t par —^ <£r n j, ce qui dboçte \

/U g-2- «{/!... df^dx^ dx n

= / U 5-^- df y . . . rf/,^ <&?/»-> ^«-1 «tejtî

^^b|f&ide mite. On trouve enfin, de la même manière,

% ..**rç

■rfL T" U 5T d f i * X *' ' ' dx * ~ / UR " ^ r ' <**«•••*■*■

açant par intégrer relativement à /i, et remplaçant, en vertu des conditions

dx 2 = o , tf*.r 3 = o , . . . , dx H ;= o,

la différentielle d[/i par-—- dx t , c'est-à-dire par Rfdlrt.

6. Si /i , /i, . r . , ^ ne sont pas données immédiatement en fonction de jc n x„ v . . , x n , mais en fonction des p quantités y t , y f , . . , ,y p , lesquelles sont des fonctions données des variables x,, ar t ,. . . , x„, on trouve leur déterminant fonctionnel de la manière suivante (*). On a, par hypothèse,

df^^dfj.dy^^d^d^^ dfj dy p ^

dx k djr x <ix k dft dx k '" dy p dx h

et par suite

Ci,k = «iM ^i,A-f- «,,2 b 7t u 4- •

. . -hai, p b p ,k 9

en posant

dfi dfi

d*k dy k

'"-Si"

Si Ton désigne par P, Q les déterminants des éléments a, b y et par R le déterminant cherché des éléments c, on a (§ VI, l),pour/>0,

c'est-à-dire que, si les fonctions données peuvent s'exprimer au moyen d'un moindre nombre de fonctions des mêmes variables, le déterminant fonctionnel est identiquement nul, comme on pouvait s'y attendre d'après le théorème (3).

(•) Jacobi, Det. /une t., § n.

Si p == rc, on a R = PQ, c'est-à-dire

dx, t

ix n

d Il . d Il

dy x dy n

dy, ^ dx x

dXy

dx A

dfn df,, dx x dx n

d ll... d LL djr t dy n

Si /> > m, on a R = 2) PQ, c'est-à-dire

df^df, dx x dx n

d Jl d li...

dfr djr s *

dy r dx x

d lL...

dx 2

d ll d l±...

djr r dy s

dx x

d ll...

dx %

df n d/ n

dx

• dx n

Le» termes de cette somme sobtienuent en prenant, pour le système r, j, . . . , toutes les combinaisons de n indices pris dans la suite i , 2 , . . . , p.

7. Si/i^i, . . . , f n ne sont pas données explicitement en fonction de x u X, ,. . ., x n , mais implicitement, par la condition que n fonctions <j>i, y,,..., <p n des variables /n/*>- ••>/.* *n ar„...,ar n 8'annulent,ona

dx x

.. d Il

dx n

dtfi ^ dx x

dy x dr n

dy x

df,'

df, " df„

dv n

dr x

dy n dx n

dlfn

df,'

dfn "df„

Démonstration. — En vertu des équations données

chacune des quantités /i, yi, . . ., f n peut s'exprimer au moyen des quantités x i9 x 2 , . . . , x n . En substituant les valeurs trouvées dans l'expression y iy on obtient l'identité fi = o, et en différentiant celle-ci par rapport à x k9 il en

( * ) J.\cobi ; Det . Junct . , § i o .

APPLICATIONS DKS &KTEUM11SÀJMTS .

résulte l'identité

^Hi^Ùi^L^ i '!** dfn = o

dxk df x dxk df H dxk

c'est-à-dire en posant

Ci,k = £/,l «i,* H- • • • "t- bi.n n „,k ,

, dfi d/i

Ci *=—dt; bi - k= w "'•*-&«•

En désignant les déterminants des éléments c, i, a respectivement par T, S, R, on a (§ VI, l)