T = SR, R = T:S

On a, en particulier,

dfx

dy { d<f t dx x df,

d<ft

'Wn

d<ft df. "

df,

'dfn

dx {

dfn d<?n dx x df 7 '

df n

" df n

dfn

df,"

dfn ' df n

9. Soient f u f f9 . . . , f n des fonctions, indépendantes entre elles, de i„ x s , . . . , x n ; les quantités Xi, x îv . . , x rt seront aussi des fonctions indépendantes entre elles de t /i) J\> ' • • » ./L- Le déterminant du système /i, /«...,/„ ot celui du système x, , j? t , . . . , x n sont réciproques l'un

APPLICATIONS DES DETERMINANTS. 125

de l'autre, c'est-à-dire que leur produit est égal à l'unité (*).

Démonstration. — Pour différentiery) par rapport à f k , il faudrait exprimer x i9 x t , . . . , x n au moyen de f x , /i, . . . , % /*„, et former

j#<^ dfttte, dfj dx n

dx t df k dx, df k " ' dx R df k

Or cette somme est égale à zéro ou à l'unité selon que k est ou n'est pas différent de i, puisque^/i,^, . . . * f n sont indépendantes entre elles.

Désignons -j-^ parti;,*, -— par i l)A , et la somme en

question par c iyk . En désignant de plus par R, S, T les déterminants

&n.l • • >#rt,w

on a

<7,A = ff/.i ^i,* -H • • -H- tf',« ^//.* »

et par suite (§ VI, 1)