T = RS

Or c iyk est égal à o ou à i selon que k est ou n'est pas différent de i; par conséquent T = i (§11, 7), c'est-à-diçe

dx s dx K dfi""¥«

dx x

dx„

dx t

dx n

dx n dx n df/" df n

10 S R et S ayant la signification ci-dessus, et les coeffi-

(*) Jacobi, Det. funct., § 8. — Voir IVJgEBirs, Journal de Crelle, t. XII, p. n6.

dents de -j^ dans R et de --j dans S étant désignés par

* M , /3 4 , Â , on aura (*)

fai a^i df± pu

<tfk ~ R ' <Ar * "~~ S ' dx x dx {

W< " ' Wm R

dr m dx m àf, ""df.

dx x tlr m

dx { dx m df m +, d/„

Démonstration. — D'après les notations employées (9), 1 a

«l,i ^\,k -H «1,2 ^.* "+-. • -ha\,nbn,k = O, dk,\ £.,*-+- <*k.i b^k -\-. . .+ Qk t n b n ,k = I ,

df m ^

df m ^y

dx m + t

dx n

df„

dx„

dx m +\

dx m+{

dfm+i

dfn

àx n

dx n -

a„,i bt,k-+-a„,2b 3t k-+~. . .-h a n>n b„ t k= o. ■■* Multipliant ces identités respectivement par v

et faisant la somme des produits, on a (§ III, 1)

R bjj = a*,/.

On a de plus (§ VII, 2)

hi.w-Hi • • • K /n-+-l,i

(*) Jacobi, Det. funct., §§8 et 9.

APPLICATIONS DKS DÉTKKMITV AKTS. I 2J

En substituant les valeurs que Ton vient de trouver pour a i,i5- • • 9 «»,«i le premier membre devient (§ III, 2)

d'où résulte la seconde propriété énoncée. Les autres propriétés résultent de celles que l'on vient de démontrer, en échangeant simultanément f avec #, R avec S.

H. En désignant par t une quantité dont /i, / s , . . . , f„ dépendent suivant une loi donnée, on peut former

d Jl d J± d Il

dt" dt 9 '"' dt'

Les quantités jc n x i9 ..., ar n , qui entrent dans ces quotients différentiels, peuvent s'exprimer au moyen de/i, / îv . .,,/„, et alors on peut différentier ces quotients différentiels suivant /i, /î,. . . . Le déterminant fonctionnel R (9 et 10), qui était d'abord une fonction de .r,, a: 2 , . . . , x n , peut s'exprimer au moyen de /,, /i, . . . ^f n ^ et alors on peut le différentier par rapport à t. En désignant, d'autre part, par u une quantité dont x t , x 2 ,. . ., x n dépendent suivant une loi donnée, etc., on a, d'après les notations admises (*),

f/logR dt dt at

dt df K ^ d/ 2 ^ ^ df n

(*) Jacobi, Dct. funct.y § 9. — Voir Jacobi, Journal de Crellr, t. XXVII, p. 309.

128 SKCOJSDK PVHTIK, § XIII.

pareillement

dr t dx* dx„

ti « ""T" d—-— d—r-

rtlogS <ra r/a . rfit

cfa «te, dx 7 ' dx n

«jt, dx 7 tlx a

On a en particulier (*)

dctk.x dctk t i dxk tft

dx x dx 2 d.r n

Démonstration, — D'après le § III, 10, on a

dK ^ da it k

i,k et d'ailleurs (10)

n dx k dji et

da itk d*fi

de dtdx k

Mais on a maintenant

d d Ii

*fi

dx K

f/ 3 / dx„

dtdxy

dt <lx-

dt dx n d/ t

<t.rr

par suite

rf^

. dt

rzr

rflog.

R ^ dt

[*) Jacobi, Journal deCrelle,t. \XVIT, p. «oj.

On a, de plus, RS = i (9) et par. conséquent

logR + logS =

rflogS y dt £à

dt ~df~

Le déterminant fonctionnel S étant une fonction des quantités f u y 2 , ...,/*„, qui renferment la variable t , on a

dt — df x dt + df 2 dt + " " * ,h # n *fr "■ Si Ton joint à cela que

#î A +S <//• "" dj t '

on obtient la seconde des identités que nous avons posées. Les identités analogues s'obtiennent par rechange simultané de £, /, R avec u 9 x, S.

Si en particulier t = x k , on a (10)

S-7-Î- = B*,,-, etc. .

dxk ■ :. >

'.:■*" 12. Si l'on désigne par X, X n ..., X n des fonctions

données de x, x t ,..., x n , par/ une fonction indéter-;

minée des mêmes variables, et que Ion posé

si l'on désigne de plus par/i,/i, . . . , / n , « solutions indépendantes entre elles de l'équation linéaire aux différentielles partielles <p (/) = o, de sorte que i|/ (/,), ty (/ t ), . . ., ^ t/») s'annulent identiquement, il existe un multiplica-

l3o SECONDE PARTIE, § XIII.

teur M , au moyen duquel <p (f) devient le déterminant des fonctions f y f i9 ...,/„ , c'est-à-dire qu'on a

d L EL ...EL

dx dx x dx n