IL
dx dxi dx n
et Ton a, en désignant par i un indice quelconque, et par A,
le coefficient de -/- dans le déterminant fonctionnel ,
dxi
ou, ce qui revient au même, M est une solution de l'équation linéaire aux différentielles partielles
,<%X) , rf(|xX,)
d(pXn),.
dx
dx v
dx n
En effet, du système des équations linéaires
o=X^-f-X, dx
dxx
dx„
dx dx x
dx n
il résulte (SIX, 1)
+ (/)A 4 =X | .R, R désignant le déterminant du système linéaire, et A, le
(*) Jacobi, Journal de Crelle, t. XXVII, p. qio.
APPLICATIONS DBS DÉTERMINANTS. l3l
If
coefficient de •— dans R. Si Ton fait maintenant dx,
A, = MX,-, on a (14)
if(MX) , rf(MX.) , rf(MX.)
dx dx x dx n
Remarque. — La fonction des quantités x, x i ^. . ., x, n désignée par M', a été nommée par Jacobi (/. c.) le multiplicateur de r équation aux différentielles partielles
ou de l'équation aux différentielles partielles
dx dx
dx, dx n
ou du système d'équations différentielles ordinaires
dx\dx x \ dx* : ... : dx n = x : x, : x 2 : . . . : x„ ,
parce que la résolution de ces équations aux différentielles partielles et celle du système d'équations différentielles ordinaires sont étroitement liées entre elles. Soient, en effet, 7r une solution de l'équation ty (f) = o, et x une fonction de Xi, #1,. . ., x n , déterminée en égalant 7r à une constante arbitraire : on a
dx
„, die -+-X. — Hdx x
dr.
dx.
dit dx dx dx,
die
dx '
dit dx x
dit dx-, '
dx d.v x
. dx dXi
et
par
suite
dx x
dx dv H
Soient, d'autre part, / t , /*,...,/, des solutions indépendantes entre elles de l'équation <ft (/) = o : en égalant ces
l'5'2 SECONDE PARTIE, § XIV.
solutions à des constantes, on a
dx dx. dx n
jLl dx -4- -y-" dx, H h -f± dx H = o,
air rf.r, dx n
et, par la résolution de ce système linéaire, il vient
dx : dx y : dx 7 : . . . == A : a i : a 2 : . . .
§ XIV. — Théorèmes sur les fonctions homogènes.
i . Soit u une fonction homogène, de degré m, des variables x t , x 9 , . . . , x„ : en désignant — par i/ t , on a, par le théorème d'Euler (*) ,
mu = «i«i+... -+- u n x n .
En appliquant le même théorème aux fonctions homogènes w t , n % , . . . , de m — i dimensions , et désignant
ri 2 u ,
par w t ,t, on a le système d'identités (**)
dxi dxk
{lU — i) «, = M l( ,.r, -h • . .'-H- «w.i^n, (/// — i) «/„ =: tf,,„X, -+-...-+- W„,r,*V
