D'après les notations adoptées, on a

m (m— i)« = 2 ar ' ar * l, 'ï* (***)*

# et À" devant être égalés successivement à 1,2,..., //.

(*) Mechanica, i 7 3C, t. Il, §§ 106, 497. — Ca/c. «tt/., § 225. (**) Hesse, Journal de Crelle, t. XXVIII, p. 78. ( *** ) Lacroix, Cale, di/f., § 91 .

Démonstration. — En multipliant les identités ci-dessus respectivement par x l9 x 2 , . . . , x n9 et les ajoutant, on trouve, pour second membre, la somme en question, à cause de

H^ '• " d'il (P U

Ui.k = «*,i

dxi dxk dxk dxi et, pour premier membre, m (m — i) #*, parce qu'on a (1)

-+- it n x„ == mu .

Remarque. — Si Ton exprime à leur tour les dérivées partielles secondes de la fonction homogène au moyen de ses dérivées partielles troisièmes, on obtient, pour la fonction homogène, la somme des produits de ses dérivées partielles troisièmes, multipliées par les varjable&pat* rapport auxquelles elles sont différentiées ; et ainsi *de soi te. Toutes ces décompositions d'une fonction homogène sjtibtiennent, comme l'a remarqué Serret (algèbre supén T $$ôte XII), en multipliant les variables par i -+-&>, et par suite la fonction homogène par (i -+- w) m , et développant l'identité

par rapport à w , à laide du théorème de Taylor.

3. La résultante du système de n -+- i équations linéaires identiques, donné au n° I , est (§ IX, 3)

Il Ut ... tt„

//., w lfl . . .«„,,

ea supprimant le facteur m — i dans la première ligue verticale d'éléments (§ III, 2). Le déterminant de dçgré n-\- i qui compose le premier membre, peut (^ III, 3)

l34 SECONDE PARTIE, § XIV .

être considéré comme la somme des déterminants

■a tt x ... u n

o «,,,. . . u Htt

O U X , H ... «„.,, U„ //,,„. . . Il

//, u lfl . . . w„,,

Le premier de ces déterminants se réduit (§ II, 5) à

ttx.n . . . U u

Le second déterminant peut se développer d'après le § V,2, parce que fi^k — ***,,-. ^i l'on pose, en effet,

et qu'on désigne par a iyi le coefficient de m, * dans *>, de sorte qu'on ait <*,-,* = a*,, (§ IH, 8) , il viendra

= — Zj^UkOLjj

Par suite, l'identité ci-dessus devient

(') Hlssl, Journal de f/rllr, t. XXXVHI, p. 7 f \?..