Du système linéaire

.mu

— (/w — î) «, -h //, pl .r, -h . . .-+-//„,, x n =z O,

il résulte, d'après le § IX, 3, et en ayant égard au § VII, 5, qu'on a la proportion

(I) —(«!):*, :*,:*, : ...= ^: sjj^r. >/p^: ^1:..., en désignant respectivement par m, (3 4 , (3,^ les coefficient s de ? m, , m,,* dans le déterminant, de degré n -f» i ,

■ Ut

On a, en effet,

R=o(3), p..* = P*.i.($m»8), Vfrjp=fr, VP/.iP*.* = ?/.*(§ VII, 5), etc.

Par conséquent, si un quelconque des déterminants partiels premiers, de degré w, du déterminant identiquement nul R, s'annule, alors les autres déterminants partiels premiers de R s'annulent aussi identiquement, et il en est ainsi ea* particulier pour v\ et réciproquement.

La proportion précédente nous apprend que

slfr.i P*.«

l36 ÇKCONDE PARTIE, § XIV.

Or on a

par conséquent

(ii) p ,= „-£!„, p . 4=r îif» »(•).

5. Les relations que nous venons de démontrer sont d'une grande utilité dans la théorie de la courbure des lignes et des surfaces. Soit/ une fonction des coordonnées rectangulaires ;r, y d'un point ,f= o sera l'équation de la ligne sur laquelle se trouve le point (x^jr). En posant, de plus,

dx>— J "' dxdy- dydx- J "- J "' !f- Jn '

on sait que

est l'équation de la normale à la ligne {f= o), menée au point (oc^y) de cette ligne, £ , m désignant les coordonnées d'un point quelconque de cette normale. En posant

et diflerentiant complètement ces équations, il vient '* {x — X\d\-*r\dx = df x% {y-n)d\ + \dy=zdf^

ou

'/, — = df y — \dx, f 2 — = d/t—ldy,

( * ) Cela s'accorde avec les relations établies par H esse, Journal de Crellr, t. XXVIII, p. io3,ett. XXXVIII, p. 24a.

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l3?

pour la normale à la ligne (/ = o) , au point

(x + dx, y + dy),

laquelle a de commun avec la première normale le point ( £> v)î c'est-à-dire le centre de courbure de la ligne (/== o) au point (x,y). Des équations

0= fydx^r Aty }

f l ?l = {f lt -\)dx +

/ai dx-\- [f n — \)dyj

il résulte (§ IX, 3) l'équation o / A

/, /. A/ii =<>,

pour la détermination de X. En développant cette équation d'après le § V, 2, on trouve/^ +f\ pour le coefficient de X , et, pour le terme indépendant de X ,

On a par conséquent

Enfin, on a, pour le calcul du rayon de courbure, que nous désignerons par p, la formule

et pour la valeur de la courbure,

Le déterminant L est plus facile à traiter lorsque la fonction à laquelle il se rapporte est homogène. En désignant par u la fonction homogène des variables x x , x t , x % , qui devient identique avec/ pour x % = i , on a (4)

eu posant

Ui

«. «Il «12

«Il «12

et faisant x t = i après la diflerentiation.

Les points de la ligne (f= o) ou (u = o) , pour lesquels L ou y sont nuls, et par suite la courbure nulle, sont en général des points d'inflexion de la ligne. Ils peuvent être considérés comme les intersections de la ligne (y=o) ou (k = o) avec la ligne (L=o) ou (*> = o). Or y* et u sont, par hypothèse, du degré m, tandis que v est du degré 3 (m — 2); par conséquent les lignes en question ont en général 3m (m — 2) intersections. Donc une ligne de degré m a en général 3m (m — 2) points d'inflexion (*).

6. Si / est une fonction des coordonnées rectangulaires x, y, z d'un point, f= o sera l'équation de la surface sur laquelle le point (x, y, z) est situé. Alors, d'après les notations précédentes, la proportion

* — S : y — fï : z — C =/. :/ 5 : A représentera les équations de la normale à la surface (j= o)

( * ) Ce théorème a été établi pour la première lois par IMiïcker ( Sjst. der Analjt. Gcom.j p. 'iGVj). La démonstration que nous donnons ici est due à liesse (toc. cit.). Jacobi a donné une autre démonstration (Journal de Celle, t. XL, p. u54).

APPLICATIONS DES DÊTERMIKAMTS. l3o,

pour le point (x, y, z) , et Ton pourra remplacer ces équations par

Les normales à la surface (y=o), menées aux points (x, y , z) et [x-+-dx,y-\-<fy, z-\~ dz), ne se coupent pas en général, mais seulement dans le cas où le second de ces points est situé sur une des lignes de courbure passant par le point (x, y, z). Leur intersection (£,>},£) est le centre de courbure d'une des sections principales de la surface faites au point (x, y, z). En diflerentiant les équations précédentes, on trouve dans ce cas

(x — %)dl+\dx = df i , etc.,

ou encore

fiï± = df,-\dz,

et par conséquent (§ IX, 3)

/ df K dx A d A dy A df s dz

Cette équation différentielle, jointe avec l'équation diilé-* rentielle de la surface donnéêy '■" ■?*

/ dx -f-/ 8 éfi^fîà* = o »

détermine la ligue de courbure passant au point (x\ y, z) et sur laquelle est situé le point (x +-dx,y -\-dy , z -+-r/z).

l4<> SECOJNDE PARTIE, §XIV.

Du système des équations

O = fydx

-4-/, dy -f-

f,Q = (/,-*) dx

A ( —= fnclx -h (f n — \)djr -+■

/ 3 rf.r -+- /„ tf?* + (/ 3 ;— A ) dz ,

il résulte, pour déterminer X, l'équation

Js J \\\ Jts Jzs A

Cette équation est du second degré, et X 2 y a, pour coefficient, — f\ — f\ — f] , tandis que le terme indépendant de X est

J\ y il J\i J 1:1 Jï J\i jit Jn

A /a fr, A,

En désignant par X', X" les racines de cette équation, on a V\" — ~~" L .

En appelant enfin p la distance des points (£,»J,£). ('^'i s)> il vient »'■• '

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l4l

Par conséquent, p a aussi deux valeurs p', p", telles qu«

Les valeurs réciproques -7-» —? sont d'ailleurs les courbures des lignes de courbure passant par (x,.y, z) , ou des sections principales de la surface auxquelles elles sont 1 tangentes. Le produit des courbures principales de la surface (f= o) au point (x,y, z) est donc

Si l'on désigne par u la fonction homogène des variables £*!, Xj, x S9 x 4 , qui devient identique avec f pour

j?4=i,ona-(4)

O lt t «a H-,

W 3 tt n «43 M 3 3

Les points de la surface (/== o) ou (ii = o) pour lesquels L ou \> s'annulent, sont en général des points d'inflexion de la surface. Ils sont situés sur l'intersection des surfaces (/== oou w = o) et (L = o ou t> = o).Ox i fet u sont, par hypothèse, du degré m, tandis que \> e& du degré 4 ( m — 2 )- Donc la ligne et inflexion d'un^ turf ace du degré m est située en même temps sur une surface déterminée du degré 4 ( m — 2 ) (* ) •

7. Des identités données au n° 1, Jacobi (**) , à l'occasion d'une proposition qui lui avait été communiquée par Hes^e, a développé le système suivant d'identités relatives

(*) H esse, loc. cit.

(**) Journal de Crelle, t. XL, p. 3i8.

l42 SKCONDF. PARTIE, §X1V.

au déterminant dont il a été plusieurs fois question

On a d'abord ($ IX, 4)

(I) t>Xi=z(m— i)(a M a,-+- . .. + «.,,•«„),

a iik =a kyi désignant, comme ci-dessus, le coefficient de * u 4 - * = M*,,- dans v. En différentiant cette identité par rapport à Xi ou à x k 9 et posant, pour abréger,

dx k

il vient

^. jr . = ( JII -,)^- sr « l +...+ «.J4-(« f a ), f

puisqu'on a (§ III, 1 )

Par une nouvelle différentiation des identités trouvées, et en posant

dx k <ixi

on trouve

(III

. / du Xti du n ; \ . .

r ï ' ,x,={ "" ,) lsïas" + - + s^i>)

"*' dx k j '

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l4ij

en ayant égard aux identités

diflférentiées par rapport à x k .

8. Le système des valeurs des variables x x , x f , . . . ,x„ par lequel on satisfait aux équations, en général incompatibles,

a pour conséquence d'annuler les fonctions m et *> (1 et 7, 1), ainsi que ^ , i> t , . • , y„ (7, II). Le déterminant

formé avec ^ comme p l'est avec m, s'annule pareillement. Des équations

o = «,,„ x, -t- . . . -+- //„,„ x ny il résulte d'ailleurs (§ IX, 3, et § VII, 5)

en désignant par ot ifk le coefficient de w,^ dans y. On a, par suite, à la fois

N étant invariable pour tous les indices. Faisant ces substitutions au n° 7, III, on a

l44 SECONDK PUtTlE, § XtV.

c'est-à-dire (i)

el par conséquent

9. La fonction homogène du degré m, lorsqu'elle est rationnelle et entière et que ses coefficients sont entiers, s'appelle une forme du degré m (quadratique, *cubique, etc.) de n variables indéterminées [binaire, tertiaire, etc.) (**). Une forme quadratique (que Ton appelle souvent simplement une forme) peut se représenter par

une forme cubique, par

/, fr, / prenant toutes les valeurs, depuis 1 jusqu'à /1, et les quantités a ijki a^i ne changeant point lorsqu'on intervertit leurs indices. Par déterminant d!une forme quadratique, on entend la valeur, prise négativement, du déterminant formé avec le système des coefficients (****). Ainsi, en posant

(*) Hesse, Journal deCrelle, t. XL, p. 3i6. — Voir Jacobi, loc, cit.

(**) Gauss, Disquis. arith.y art. i53 et 26G.

(***) Voir Hesse, Journal de Crel le, t. XXVIII, p. -)!\.

(**•*) Gauss, loc. cit., art. \bl\ et 2(17.

— R sera dit le déterminant de la forme u = ^tf,,* ;r 4 - x k .

Le développement de ce déterminant résulte du § V, 2. En désignant par a ljA le coefficient de a,,* dans R, la forme quadratique

est dite la forme adjointe (forma adjuncta) (*) de la forme donnée u. On a (§ V, 2)

U = On a de plus (§ VII, 1)

ri «M

c'est-à-dire que le déterminant de la forme adjointe est la puissance (n — i) iime du déterminant de la forme proposée. D'après le § V, 2, on a

= — J^ Xi *k A,,* ,

À M désignante coefficient de a,,* dans ^àz a, ?1 . . . a, VJ .

( *) Gauss, loc. cil. y 267.

l46 SECONDE PARTIE, § XV.

Or on a A,- f i = R n ~* a ifk (§ VII, 3); par conséquent,

O x x . . . x n x x a Xf \ . . . ct l>n

Remarque. — Si la forme u est quadratique, ses dérivées partielles seront linéaires j par conséquent, le déterminant des dérivées partielles secondes de u (§ XIII, 3) , de même que le discriminant de u (§ XII, 12), ne différeront que par un facteur numérique du déterminant de cette forme quadratique.

§ XV. — Des substitutions linéaires, et, en particulier, des substitutions orthogonales.

1. Lorsqu'il s'agit de transformer une fonction donnée des variables x t , x t , . . . , x n en une fonction des variables y x >y f , . . . ,y n , au moyen des substitutions linéaires

•*i = Au y\ + b ut fi H- . . . ■+- b ïtn y ny

x n = b mtX y x -h b n , 7 y 7 -h . . . -h *.,,, /„, le déterminant de§ coefficients de la substitution .

s'appelle le déterminant (modulus) de la substitution linéaire. Ce déterminant doit être différent de zéro, si x i9 x i9 . . . , x„ sont supposées :. indépendantes entre elles (§IX, 2; §XIII, 3). La substitution lméaire est dite

(») Bmoschi, Det. (53).

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l/{j

unimodulaire (*), lorsque . son déterminant est égal à l'unité.

2. Si les fonctions linéaires J\,ft> . . . , f n des varia-, blés x t , x 99 . . . , x n sont transformées, par une substitution linéaire, en des fonctions linéaires des variables J\ t y%9 • • • > y n » le déterminant du système des fonctions transformées ( § XIII, 1 ) sera le produit du déterminant du système des fonctions données par le déterminant de la substitution linéaire (**).

Démonstration. — Soient

f\ = «1,1 j?i -f- . . . 4r a \,n *hi

les fonctions linéaires données. Par la substitution li-ç néairè

X x = b t ,t Xi -h ... -h bi,m Xny

x n = b„ fl t ri -+-... -*- ^n,« r«>

on obtient les fonctions transformées

/ = <m,i Ji 4-... • -r-*Mj r »>

/ re =c, l>l>ri -4-. . .-+•<•„,„/„

On trouvera c,,* en multipliant x t 9 x % ,.. . , x n respectivement par a,,!, a itt9 . . . , a,>, faisant la somme, et prenant dans cette somme le coefficient dey* ,

(* ) Sylvester, Cambridge and Dublin Haihematical Journal, t. VII, p. 52. (**) Van», la démonstration algébrique de la règle de multiplication CS v *)> par exemple, dans Joachimsthal, Journal de Cre lie , t. XL, p. 22.

l48 SECONDE PARTIE, § XT.

Par le § VI, 1, on a

c,,,. . . c UH a tfl . . . a {

Cn,i • • • **«,»