IM
3. Étant données les équations algébriques/(x) = o et (f (x) = o, de degrés m et n respectivement, si par la substitution
x __ py •+- y*
jty + q'* 9 on les transforme dans les équation»
et que Ton désigne en outre parK = o la résultante des équations données, et par R' = o la résultante des équations transformées, on aura
••r' Démonstration. — En admettant que a t , a, , . . . , a M désignent les racines de l'équation/^ x) = o, et Pi , |3, , . . . , (3 n celles de l'équation <f(x) = o, on a identiquement
f(*) = M*-p.)(*— W---(*^Wf et par suite
</( - J = (tm (t — a, a) ( f — - a 2 u) <. . . (f — a m tt),
wn? (ïï) = *" ( '~ p,tt) ( '~" M- • •('- M)-
(*) Jacobi, Journal de d'elle, t. XL, p. 2^j5. — Salmon, Higher plane curves, p. 295.
APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l49
La résultante des équations .
*■/(;) = <>, et *-,(!) = .
est, de même que la résultante des équations f{x) = o et <f (x) = o, d'après le § XI, i ,
a < — & étant évidemment le déterminant des fonctions linéaires
Par la substitution linéaire
t=py +qz, u^zp'y+p'z,
le déterminant de t — a t u et de t — (3*u se change (2) en et; par conséquent
{pq f —p'q)™Y\(«i—M=° i.k
est la résultante des équations transformées
Remarque. — Si l'équation f(x) = o est transformée, par la substitution
l5o SECOHDE PARTIE, § XV.
en la suivante
on trouvera, en procédant de la même manière, que le déterminant de l'équation transformée se déduit du déterminant de l'équation proposée (§ XII, 9), en multipliant par
(pq f — p'q) m{m ~~ l) i parce que TT (a { — <x k ) est un produit
i,k de m (m — i) différences qui peuvent être considérées 1 comme des déterminants de fonctions linéaires.
4. Une -fonction f des variables x i9 x t9 . . . ,x n étant transformée, par une substitution linéaire, en une fonction des varia bles^i,^, . . . , y n , le déterminant de la fonction transformée est égal au produit du déterminant de la fonction donfcée (§ XIII , 3) par le carré du déterminant .de la substitution linéaire (*).
'Démonstration .
par la substitution
— Supposons la fonction
/tran
dx n dyk*
bn.k,'
isfor/née
JL'„
On a alors
= K tX y % -h. .
d*f dx s
dy k dx n dyidx n
dyidy k
dy k dx x dyk dyidx,
(*) Hesse, Journal de Crelle, t. XXVIII, p. 89. Le cas où la fonction /"est quadratique a été traité, pour n== 2, par Lagrange {Mémoires de V Académie de Berlin, 1773, p. 285), et pour n = 3, par Ganss{ Disq. arithm., 268).
et par suite (§ VI, i )
dy, dy,
d'f dy,dy.
dy n dy t dy H dy H On a de plus,
dyi ~ dx x dfi dx x
d'f dy, dxi
d'f dy,dx x
dy n dx, dy,dx x
Ki
tfyfdxk dx\ dxk et par suite, comme précédemment,
df dx n dx n dy k
dx, *f
bn,ii
dx n dxk
bn,i >
dy, dx, dy, dx n d'f d'f
dy H dx, dy n dx n
dxi dx x
dxi dx n
d'f dx„dx n
dx n dx x
l>n,t.:*b HtH
En multipliant entre elles les équations (A) et (B), il vient
d'f dy t dy, .
d'f dy, dy,
dy n dy, dy n dy n
dx x dx\
dx y dx'n
dxn dx x dx n dx n
5. Parmi les substitutions linéaires au moyen desquelles on peut transformer une fonction donnée, on doit particulièrement remarquer celles dans lesquelles la somme des carrés des nouvelles variables ne diffère pas de la somme
l52 SECONDE PARTIE, § XV.
des carrés des variables primitives. Ces substitutions ont été considérées par Euler (Nov. Comm. Pelropol., t. XV, p. y 5 ; t. XX, p. 217) $ par Cauchy (Exerc. de Math. ,t.l\ , p. 140)5 par Jacobi (Journal de Crelle, t. XII, p. 7); par Cayley (Journal de Crelle, t. XXXII, p. 1 19), et d'après une remarque de ce dernier auteur, elles ont reçu le nom de substitutions orthogonales .
Si la fonction donnée dépend des variables x if x% , « .*. ,JC n , et qu'on la transforme, par la substitution linéaire (orthogonale)
x n — Ch,\ Jf\ ~t~ • • • "T" Cn,nXny
en une fonction de j, , y % ,...,/„, de sorte que l'on ait
les coefficients jouiront des propriétés principales suivantes.
