I. Pour toutes les valeurs de ietde#, depuis 1 jusqu'à

», on a (Euler)

ï\,i c x ,k -4- c 7ii c 2 ,*-h ... -h C n j C n ,h = Q> à cause de l'identité

r;+r 1 + -..+.r ll = (^«/i -+-• • • <\«.r.)M- • •'•+ (^,1/1 -h. • . -H *»,»/« )'

II. Pour transformer la fonction transformée dans la fonction proposée, il suffit (Cauchy) de substituer les valeurs

En effet

Ct,iXx -+-... -h c Hti x H = y x (c lti c, fl -4- . . . -+- c ati c Htl ) + . . .

le coefficient de /,- ayant pour valeur l'unité, tandis que les coefficients des autres quantités s'annulent (I).

III. Le carré du déterminant d'une substitution orthogonale est égal à l'unité (Jacobi). Car par la règle de la multiplication "(§ VI, 3) on a

en faisant

di.k = ^i.i ^«,* ■+- c%,i Ci.i -f- . . . .H- C«,i f Wf *.

Or on a d ifk = o, rf />4 = i (I) ; par suite le déterminant cherché se réduit à son terme initial d ifl d f t . • ,d n n = i

IV. En désignant par e le déterminant d'une substitution orthogonale, et par y, )t lecoefficientdec ljJt dans s, on a (Jacobi)

Pour prouver cette identité, multiplions les identités

Ci,i c, t k H- . . . 4- c B( , c n$ k =. o,

c,,* c Xt k -f- . . . -f- c n>k c n>k = i ,

C\,n C{ t k -f- . . .' -f- C„ tn C nt k = O ,

respectivement par y M , y,,i , . . . , y t> . On obtient, en faisant la somme,

^■,*(^i",i7/.i -*"• • •■+-ffi.«7,>) -h. • •■+• ^(^iVij-f-. ■ .-}-<•,.„ 7,-.„) -K • •-+-<%,,< (r,,,, 7/,, -4-. • ■ f«,n7/,n) =.7'.*-

l54 SECONDE PARTIE, § XV.

Le coefficient de c à geil e, et ceux des autres quantités c M , . . . ,c n>k s'annulent (§ III, 1 ).

V. Les coefficients d'une substitution orthogonale satisfont au nouveau système suivant d'identités (Euler) :

Ci,\ Ck.\ -h C/,»**,H-

■ Ci, n C^ tt = O .

On a en effet (IV)

« (C,,i Ck, x -f- . . . C it n Ck, n ) = 7/,, C kfX + . . . ■+■ 7,,„ C*,„ .

Or cette somme a pour valeur e ou zéro, suivant que * et h. sont égaux ou inégaux (§111, 1 ) .

VI. Entre les déterminants partiels que Ton peut former avec le système des coefficients d'une substitution orthogonale, il existe la relation suivante (Jacobi) :

Cn,m+i • • • Cn,n

Ou a en effet (§ VU, 2) 7 7i,<

c m,\ • • • Cm,m

^m-H, «H-i • • • Cfiw-i,n

• • • Cn,n

et, d'après (IV), en ayant égard au § III, 2,

La comparaison de ces deux identités conduit à celle qu'il fallait démontrer.

Il y a encore quelques relations moins immédiates entre les coefficients d'une substitution orthogonale, qui ont été indiquées par Euler dans le premier des Mémoires cités, et par Jacobi (Journal de Crèlle, t. XXX, p. 46).

6é Puisque entre les n* coefficients d'une substitution

n In — i ^

orthogonale il existe n H équations (5, l), ces

coefficients peuvent être considérés comme des fonc-

j « nln — i) n(n — i) . , . ,,

tions de /r — n - ==: — quantités mdeter-

minées

**!»** ^»,a» • • • y Di,ny Oj,3y • • • , ^a,n>

Effectivement, Euler a non-seulement indiqué le moyen

par lequel on peut, par — transformations binaires,

mettre les coefficients d'ime substitution orthogonale sous

forme de fonctions de — quantités indéterminées;

mais encore, pour les cas de n = 3 et de n = 4, il a exprimé ces coefficients rationnellement au moyen des quantités indéterminées. En se servant des déterminants, Cayley (Le.) est parvenu à représenter les coefficients d'une substitution orthogonale servant à la transformation d'une fonction de n variables, par des fonctions rationnelles de

— indéterminées. " ' ■ ^

Si Ton désigne, en effet, comme plus haut, ces indéterminées, par ft 1>2 , . . . , &„i -, si de plus, sous les conditions,

bi,k -h t>k,i = O, b iti = wj

l56 SECONDE PARTIE, § XV*

on forme le déterminant

et que Ton désigne par (3 f ,* le coefficient de b iyl dans B 9 on aura

C ''* = "B" ' Cii

pour les formules générales d'une substitution orthogonale dont le déterminant a pour valeur l'unité. Les coefficients d'une substitution orthogonale de déterminant — i s'obtiennent. en changeant les signes d'un nombre impair de lignes parallèles, dans le système des coefficients qu'on vient de trouver.

Démonstration, — On peut faire dépendre les quantités X\ 9 x* , • • • , x n des quantités y , , y % , . . . , y n , en posant à la fois

x i = bi,\ «i -h . . . $+- bi, n z n , Xi = b Xpi z x -+- . . . -f- b nti z n .

Par la résolution des systèmes linéaires

.v t =zb ift z t H- . . . -f- b x>n z lt , jr x = b itX z x + ...-+- b n , t z n9

*n = b n>x Z x -\- . . . -h b n>n Z n y y a = b ltn Z x -\~ . . -\-b„ tn Z„,

on trouve (§ IX, i )

Bz t = $x,ï*Ç^r P 2 ,i^ a -4- ... -4- P„, t X ro

Or en vertu des hypothèses b iik -h b kji = o, &, jt = w, et des relations supposées entre #,,,/, et les quantités s, ,

z i9 . . . , z„, on a

et par suite on a à la fois

Bx l -=2»p i ,,.r, H- . .-i-(2wp < -, < — B)//+ ...-+- 2wp,., jr , ( , ou, sous une formé plus abrégée,

Xi = *i.i *i + • • • 4- C n ,i x n ,

*i = c i,x ri 4- ... 4- c.>r» .

De l'identité

r/ = c >w( c ^•r^4-...4-c,, ^ / n )4-...+ c• n , l •(^ (l ,,/,-^-...-f-c n ,^, l ), résultent les identités

o = Ci,,- c x ,k 4- c 2)l - c 7t k -4- . -4- c„,, r„^ ,

qui font voir que ces fonctions rationnelles des indéterminées b ii% , . . . , £„i,„ présentent le caractère des coefficients d'une substitution orthogonale (5, I).

Désignons par e le déterminant de cette substitution orthogonale. On a alors (§ III, 2)

fc..

p3,a pj.a —

En multipliant ce déterminant Bw n , on trouve (§ VI, 4)

en posant

hi.k = pu bk, x w -h . . . -f- ( Pu \b kt i w -f- . . . H- p itH bk, n <*

= ~^**,/<»=7*a(§ni, i),

*/,i = Pi.i *«',! w -f- . . . -h ( Pu — £^ J b itt w + . . . -f- p,> 6,,« w

= DU 0/ j = 0/ ,'. •

En substituant ces valeurs, il vient (§ III, 2)

et par suite e = i . Si enfin on donne des signes contraires aux coefficients • ' •

c \,iy Ci,i

ou aux coefficients

le déterminant de la substitution change de signe (§ III, 1 ), tandis que les équations caractéristiques (5, I et V)

c\. -+- cl . -+- . . . -f- C . = î ,

Ci ,i C, ,A -h C 2#/ C 2 ,* -h . . . -+- C n%i C Rt k =0,

Q,i c,-,, -h Q, 2 c^ 2 -h . • . -h Q,« C/, n = o, n'éprouvent aucun changement

Exemples. — Pour n = 2, on trouve

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l5g

Les coefficients des différents éléments dans B sont

Donc les coefficients d'une substitution orthogonale binaire de déterminant i sont les suivants :

i— X* aX

i-hX»' i-HX''

i4- X 2 ' i+X 2 Le déterminant aura pour valeur — i, si Ton donne aux coefficients les valeurs

Pour n = 3, on trouve (§ VIII, 7)

I V fA

Les coefficients des divers éléments dans B sont

= I -hX a +fA 2 -f- V 2 .