I-+-X 2 , v-f-XfS — fA-f-Xv

— v-hXfx, i-f-f*% X-+-p,

p 4- Xv, — X -h f*v, I -\- V 2 .

On trouve, d'après cela, les valeurs suivantes pour les coefficients d'une substitution orthogonale ternaire de déterminant i :

f*4-Xv

1 H-pt 2 — V 1 — A*

l6o SECONDE PARTIE, § XV.

comme Euler l'avait déjà annoncé dans le Mémoire que nous avons cité en premier Heu, p. 101. Ces coefficients ont été déduits par Rodrigues [Journal de LiouvUle, t. V, p. 4°5) des formules mêmes qu'Euler a établies (Nov. Comm. PetropoL, t. XX, p. 217) pour la transformation d'un système trirectangulaire de coordonnées.

Pour obtenir les coefficients d'une substitution orthogonale ternaire de déterminant — 1 , il suffit de changer, dans le système ci-dessus, les signes d'une ou de trois lignes horizontales, ou d'un pareil nombre de lignes verticales.

Pour rc = 4> on trouve (§ VIII, 7)

= ( w J + fl 2 + ^ + C > +/* + g * +. fr + 01)^

wG =:af-\- bg •+• ch.

p„z= (••» +/* + *» -M 1 )»», ft,= (at>-hfB — bh+cg)»,

p 3l = ( - ba — cf—gQ + *?A) w , p 3 , = (— //« +/# — ab — c9)», $ Ai = ( — c<*-hbf—ag—/iQ)v 9 p 42 = (g»-\-fh+bO— ca)«,

p„= (^w-h^Ô— cf-hah)a, p, 4 s (eo>H-//ô— *£+£/)» ,

p43 = (— fv+gh-bc—aO)*, p 44 == ( w 2-|fl' +<,' + £')„*;

Bc„ = [y— 0*-t-/'«» + g 2 — £' -h A 2 -c>]«% hc n = [*>' — ô 2 h- /' - a' — ( g « — *») (^ - c 2 )] W 2 , Bc 33 = [*>' — 0* — (/*— « a ) -*- («T 1 — ^ a ) — (A»— «•)]»», Bc 44 = [o>'-0'— (/' — «') - (£'-*') + A» — «*]«», etc.

A l'aide de ces formules, on peut former immédiatement

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l6l

les coefficients -d'une substitution orthogonale quaternaire, de déterminant i ou — i.

Le système de valeurs de ces coefficients, dotfité par Cayley, dans le Journal de Grelle, t. XXXII, p. 122, contient deux erreurs (dans {3 t4 , lisez hf au lieu de — hf\ dans Bc u , Bc,j,..., lisez 1 — 9* au lieu de 1), lesquelles n'existent pas dans la publication plus récente de Cayley, Journal de Crelle % t. L, p. 3n. Mais, dans ce dernier Mémoire, p. 3 12, L 5, il y a une faute d'impression à corriger, lisez — dy f au lieu de -+■ ây'. Les coefficients trouvés par Cayley pour une substitution orthogonale quaternaire ont été donnés sous une autre forme par Euler (Nov. Comm. Petrop.y t. XV, p. 102), qui les avait obtenus, dit-il , « nulla certa methodo* sed potius quasi divinando. » Euler ajoute : « «Si guis viam directam ad liane solutionem manuducentem investigaverit , insignia certe subsidia analysi attulisse erit censendus. » Cayley n'a pas manqué de se rendre compte comment des coefficients qu'il a déterminés on peut déduire la solution d'Euler (voir Journal de Crelle, t. L, p. 3 12). En posant, dans le système ci-dessus,

s-+-d r-+-c q-hb p-ha w = - ? /=• 5 g = 5 h = 5

et changeant les signes de la dernière ligne horizontale, ce qui fait prendre au déterminant de la substitution orthogonale la valeur — 1 , on obtient sans aucun changement le système d'Euler. Car le second élément de la seconde ligne horizontale est écrit, dans le Mémoire d'Euler, par une faute d'impression, — ds au lieu de -f- ds+

7^ Les substitutions orthogonales binaires et ternaires

équivalent, eu géométrie, à la transformation des coordonnées rectangulaires. Pour passer du système rectangulaire jc, y 7 au système rectangulaire x\ y\ en supposant que x, y, x\y' soient des directions situées dans un même plan, il faut faire la substitution linéaire qui a pour coefficients

C0S4H?', cosarp',

COSyx', COSJ^.

Si Ton donne le même signe aux angles décrits par des rotations de même sens, de sorte que

on a

xy* = xx 1 -+- X* y\ yx' =zyx -+- xx', yy' =yx -f- xx 1 -f- x'y'.

Si maintenant les angle» xy et x'y' sont tous les deux = 90 , on a

co&xy' — — sin xx', co*yx' = sin xx'\ cos y y* = cos xx' .

Si au contraire xy = 90 et x'y ' = — 90 , alors

cos xy 1 = sin xx' , cosyx' = sin xaf 9 cos y y = — cos xx' .

On a donc, comme on le sait d'ailleurs, pour passer à un

système de même sens, à faire la substitution linéaire

cos xx f , — sin xx 1 , ûtlxx' , cosxr',

de déterminant 1 . Pour passer à un système de sens contraire, on devra faire la substitution

cosjm/, sinxj/,

sin xx' ', — cosjr.r',

de déterminant — 1 .

Ce qui précède s'accorde avec un théorème goniomé-

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l63

trique connu (voir ci-après, § XVII, I), d'après lequel, pour des directions quelconques ar, j, x\y' dans un même plan, on a

cos.rjr' cos -r/' cosyx' cos// 7

=== shi jgr sûkt'/' ,

d'où il suit que ce déterminant est positif ou négatif, suivant que sin xy et sin x'y 1 sont ou ne sont pas de même signe.

Réciproquement, des équations

cos'xr' -h cos 2 x/ 7 = i , cosx-c' cos yx' -f- cos xy* cos// 7 := o ,

cos»/*' ■+- <*»* y y 1 = l ♦

on conclut que sin* xy et sin* x' y' ont pour valeur funité. On a, en effet, par la règle de la multiplication

-cos-r^r 7 cos-r/* sin* xy sin 2 ^7 =

cos/* 7 cos y y

I cos 2 jm/ -+• cos* a:/ 7 j cos /x 7 cosxx' -+- cos x/ / cos// 7

I cos x* 7 cos/ar' -f- cos a:/ 7 cos// 7 , coi t yx f -f- cos»// 7 ""

Pour rendre les substitutions rationnelles, il suffit de

prendre les formules cos xx' = cos* — ( 1— tang*— bel*?.,

et d'exprimer les coefficients de la substitution au moyen

de tang Voir 6, exemple 1 .

8. Pour passer du système de coordonnées rectangulaires a:, y, z au système de coordonnées rectangulaires x ' 9 y 1 , z', il faut employer, comme on sait, la *ub»titutiou

linéaire

cosjr-r 7 , cosx/', at%xz\ vo*yx / , ces//', co%yz\

co*zx\ iimzy' y wêtzf,

dont les coefficients doivent satisfaire aux équations (5, 1), et sont par conséquent fonctions de trois quantités indéterminées. Soit O l'origine commune des deux systèmes de coordonnées, et soient X, Y, Z, X\ Y', Z' les points où les directions des coordonnées positives rencontrent la sphère de centre O et de rayon égal à l'unité. Les systèmes de coordonnées seront de même sens ou de sens contraire, suivant que les triangles sphériques XYZ etX'Y'Z', ou lea tétraèdres OXYZ, OX' Y' Z' seront de même sens ou de sens opposé.

I. Deux figures sphériques étant semblables, égales et de même sens, il existe un point S, qui est à lui-même son propre correspondant, et qui est situé de telle sorte que l'on a

SX = SX', SY = SY', SZ = SZ',

angle XSY = X'SY', YSZ = Y'SZ', XSZ = X'SZ', XSX' = YSY' = ZSZ' (*).

D'après une proposition élémentaire de trigonométrie sphé* rique, on a par conséquent, en désignant OS par $ et l'angle XSX' par 9,

cos xxf = cos' sx -f- sin'&r cos y =r cos* sx ( 1 — cos <p ) ■+■ cos <p ,

COS// = C0S*J/-f- 8^^008^=008^7(1 — COS 7) -h COS y ,

cos zz f = cos* sz 4- sin* jz cos y = cos* sz (1 — cos y) -+- cos y .

En désignant, de plus, par les angles égaux XSY, X'SY', on a, d'après la même proposition de trigonométrie,

cosar/'=cos«: co&sy' -4- sinsx sinsy' cos (y -h 0) = cos sx co&sjr -f- sïasx sin sjr cos? cosô — sin* xûnsyûny sin 0.

(*) Voir le Mémoire de l'auteur Sur l'égalité et la similitude, etc. Dresde, i85a, §§ 3i et 5a. Aux sources qui y sont citées il faut ajouter : Euler, De centro similitudfinis^Nwa Acta Petrop., t. IX, p. i54).

APPLICATIONS DKS DÉTERMINANTS. l65

Mais, à cause de

cos xy = cossx cos sy -+- sin sx sin sy cosô = o , sin sx sin sy sin = 60XYS = sin xy cos js = cos sz ,

il vient

De la valeur de cos xy* on tire celle de cos yx r 9 puisque l'angle YSX' = YSX -h XSX' = — <p H- 0, d'où Ion voit qu'il suffît de changer <f en — y, pour avoir

On a de même

co&yz* = cos sy cos sz (i — cos f ) — cos sx sin y , cos 37' = cos sy cossz (1 — cos©) -H cos&r sin y, cos zx' = cos « cos&r (1 — cos y) — cos sy sin ©, cosxz' = cosjz co$j.r (1 — cos©) -H cosjrysin© (*),

les trois premières des quantités auxiliaires £X, sy, sz, op étant liées entre elles par l'équation $

cos' sx -f- cos a sy -+- cos 1 sz = 1 .

Pour rendre rationnels ces coefficients de la substitution,

introduisons-^; il vient

(*) Ce sont là les formules trouvées par Euler, Nau. Corn m. Petrop. y t. XX , p. .217, formules que Jacobi a rappelées (Journal de Crelh, t. Il, p. 188), en invitant les géomètres à en simplifier la démonstration.

l66 SECONDE PARTIE, § XV.

et de même pour les autres. En posant

cosj.rtang- (p = A, cos.s/tang- y=f*, cos sz tang — ç=v,

d'où résulte

tang' - y = V -f- p 2 4-v 3 , 1 — ai+V + ^+n»,