COS 2 - 2 T

on obtient le système ci-dessus de coefficients rationnels d'une substitution orthogonale ternaire f6).

II. Deux figures sphériques étant semblables, égales et de sens opposé, il existe un grand cercle, son propre correspondant à lui-même, dont le pôle S a pour correspondant le point diamétralement opposé, et tel qu'on a

SX +- SX' = i8o°, SY -f- SY' = i8o°, SZ -+- SZ' = i8o%

angle XSY = X' SY', YSZ = Y' SZ', XSZ = X'SZ',

XSX' = YSY' = ZSZ\

En^employant toujours les notations précédentes, on a

cos-rx' = — cos 2 m: -hsin , *xcos<j> = — cos a ja:(i-»-cos^)-|-cos«j>, cosxy' = — cos sx cos sy -f- sin sx sinsy cos (y -f- 0) = — cos sx cos s y ( i -+- cosy ) — cos w,sin <p , etc.

- Ces formules ne diffèrent que par le signe de celles qu'on a trouvées précédemment, en y changeant <p en t i8o° — y. L'angle i8o° — cp est celui que le système x\y\ z 1 doit décrire autour de Taxe .*, pour que X' Y' TJ coïncide avec la figure symétrique de XYZ.

III. D'après le théorème de v. Staudt (voir ci-après, § XVII, 6) , on a, pour des angles et des positions quelcon-

= 360XYZ.OX'Y'Z'

APPLICATIONS DES DÉTEKM1MAJNTS. 167

ques des axes coordonnés ,

cosxx' cosxy' cos xz' cosyx' cosjj' cos yz' cos zx r cos zy' cos zz r

Par suite, le déterminant est positif ou négatif, suivant que ces tétraèdres, ou les angles solides formés par les axes, sont disposés dans le même sens ou en sens contraire. Dans un système rectangulaire, le tétraèdre correspondant a pour

mesure 77 de l'unité cubique-, donc le déterminant de la

substitution orthogonale sera 4- i ou — i, suivant que le nouveau système sera disposé dans le même sens que l'ancien, ou en sens contraire (*).