IV. Réciproquement, des équations
cos*J?x' -f- cos 7 xy' 4- cos'xz' = i ,
cos*yx' 4- cos i yy J -*- cos'^z' = i,
cos 2 zx r 4- cos* zy 4- cos 1 zz 1 = 1 ,
cosattr'cos^a:' -f- cosxycosyy' 4- cos-rz' cosyz' = o,
cosarx'coszx' 4- cosxy' cos zy* 4- cosxz' coszz' = o,
cosyx' coszx' 4- cosyy cos zy' 4- co%yz' coszz' = o,
on conclut que les systèmes x, y, z et x { r , j', z 1 sont rectangulaires (**). On a, en effet,
«Il «I» ÛI3
(360XYZ.OX'Y'Z')* = a 2i a n a Ti
en faisant, d'après la règle de la multiplication des déter-
(*) C'est Jacobi (Journal de C relie, t. XV, p. 309) qui a fait remarquer ce caractère distinctif des déterminants des substitutions. Voir Moebius, Statique, § 127; Magnus, Géométrie analytique de l'espace, § i3.
(**) Dedekind, Journal de d'elle , t. L, p. 27a.
l68 SECONDE PARTIE, § XV.
minants (§ VI, 1),
a ti = cosxjc' cosxx' -4- cosarj' cosxj' -+- cosjk' cosaœ' = i , a i 2 = cos.r.r' cos^x' -+- cosjyf'cosjj' -4- cosarz' cosjs' = o,
etc., de sorte qu'on a
On
On
On a maintenant
60XYZ = sin.r/ sio.rzsin \xy^pcz) 9 etc. '
Mais le produit des sinus n'est égal à l'unité que lorsque les angles sont droits.
9. En désignant par Cj jt ,. . . ,c Mî „ les coefficients d'une substitution orthogonale ayant pour déterminant e, c'està-dire + iou — i , et posant
Cî.i-h Z . . . C 2 , n
Cn.x
• Cn,n "H Z
l'équation f {?>) = o est réciproque, et, à l'exception de la racine — s , qui y satisfait dans le cas de n impair, elle n'a aucune racine réelle (*).
Démonstration. — Le développement du déterminant f(z) suivant les puissances ascendantes de z (§IV, 4) permet, au moyen de la propriété, démontrée dans l'art. 5, VI, des déterminants partiels appartenant à /(o), de reconnaître immédiatement que les coefficients de z°, z x > z*, . . .
( *) Biuoscm, Journal de Liouvillc, t. XIX, p. a53.
APPLICATIONS DES DÉTEKNU&àBTS. 169
ne diffèrent que par le facteur e des coefficients de 2 n , s"" 1 , s n ~", . . . , et que par conséquent
ce que Ton peut constater en faisant le produit des déterminants set /(z). D'après cela, on a
et ainsi f( — e) devra s'annuler identiquement lorsque n sera un nombre impair. Pour arriver à une conclusion sur la réalité des autres racines de l'équation f(z)=zo, formons (§ VI, 4) le produit des déterminants
rf,,, — z 2 zd {f2 . .. zd l>n
zdt,i d, t2 — z 7 . . . d 2ttl
en posant
<*/,* — s*:=C/,iC*,i-4-. . .+ (^+«)(fy- *) + • • • + Cf fJI C/ â „
et par suite
*., = ! (5,1), et
z4,* = c/,i«* â i H- ... H- (c w H- z)ck ti + . . . -+• rf t j(c*,ft— »)■ de sorte que d iyh -f- d kii = o. On a par conséquent § ( VIII, 7 )
et par suite
• • di.n
170 4&COMDE PARTIE, § XV.
les coefficients des puissances de z étant positifs, d'après
l'article cité. Donc, pour toute valeur réelle de z, la quan-
tité
- ,, ou ■-
suivant que n est pair ou impair, est positive, et par conséquent/ (2) est différent de zéro».
10 Etant donnée une fonction homogène et entière, du second degré, de n variables x M x,, . . . , x M
v == 2 ai ' kXiXh ou Ui ' k == ak ' h
on peut, au moyen de la résolution d'une équation du degré h, la transformer, par une substitution orthogonale déterminée, en une fonction entière et homogène de n variables, qui ne contiendra plus que les carrés des nouvelles variables (*).
Démonstration. — Par les """ conditions exprimant
que les produits deux à deux des variables disparaissent de la fonction transformée, la substitution orthogonale qui sert à la transformation se trouve déterminée (6). Or, dans la substitution orthogonale
*i = Ci.tjri -h ... -h Ci.mjr m * on a (5, II)
Xi == c \,i x \ ~T" • • *"T" C Ut iX n .
(*) CàUCH?, Exercices de Mathématiques, t. IV, p. î/jo. — Jacobi, Journal de Crclle, t. Xlf, p. 1 . — Le Besgue, Journal de Liouville, t. II, p. 357 . C'est sur cette proposition que repose analytiquement l'existence des axes principaux rectangulaires des lignes et des surfaces du 2 e degré, dont le centre est à une distance Unie.
Si Ton doit avoir, par cette substitution,
il faudra que Ton ait, pour toutes les valeurs de x u X\ , . . . , x n ,
2a/,**«*4 = ^i(tfi f iXi-r-...-r-C,i*«) J -f--. .
-*- £n (<?,,„ .T, -h . .-4- fn,„^«)%
et par suite
En multipliant les équations
«i,i ?= £i Ci ti c t){ -H • . . -H #B <?,>?,,„,
respectivement par c ijk , c M , . . . , c M , et faisant la somme, on trouve (5, 1)
Du système, linéaire
Ci.* fl^ 1 ■+■ c 2 ,* a n , 7 -+■ . . . -f- c„,* (a„, n — #*) = o ,
il résulte enfin (§ IX, 3, et § VII, 5)
&ï,\ a*,7 — gh • • • ><**,n
"/M <ln,i • • • tf/!,/i — gk
<•■.* : <v : c,, k : . . . = Vt. ( £*) : \fc(gt) ' /?» (**) : •
<fi(z) désignant le coefficient de a iyi — z dans le déterminant
Maintenant, à cause de
on a, pour déterminer les coefficients de la substitution orthogonale cherchée,
eu
= VW*) : >/i*(gk) : • • : V<p«(s*) : V<p.(s*)-+-- • •*+- *»(**)•
Les quantités g â , g, , . . . , g n sont les racines de l'équation du degré n,f(z) = o. Aucune d'elles ne peut être nulle, car/ (o) est le déterminant (de Hessç) de la fonction quadratique V, et l'identité f(o) = o indiquerait que V serait en réalité une fonction de moins de n variables
(§xin,3).
L'équation f(z) = o ne peut avoir de racines imaginaires btt complexes. En effet, en vertu des proportions précédentes et de l'équation
fci,7ci,* 4- c 2ii c 2tk 4- ... -4- c n>i c Kf k = o ,
on a, pour chaque couple de racines g i9 g*,
VW«) v^?i (gk) +. : v + fo*{gi) fa(gt) = o.
Si maintenant on avait ,
gi —p^t-q ^~ et fa(gi) = Pr + Qr )/~l ,
il existerait une autre racine gn = p — ^V — *> el P ar
suite vfyr (gi) = P r — Qr V 7 — * • De là résulterait
et la somme de pareils produits ne pourrait être nulle, à moins que 9,. (g;) ne s'annulât pour r = 1, 2,. . . , n. Or ç r (z) est une fonction du degré n — 1 et de même nature que /(s); elle ne peut donc s'annuler pour z = g t que • lorsque des fonctions de même nature et de degré inférieur s'annulent, ce qui est impossible pour des fonctions du premier degré.
Dans le cas où deux ou plusieurs des racines de l'équation y (z) = o deviennent égales entre elles, la transformation cherchée de la fonction V n'est pas complètement déterminée, parce que deux ou plusieurs lignes parallèles
des coefficients de la substitution prennent la valeur -•
En effet, si g k est une racine double de l'équation f ( z ) == o, on a, en vertu de l'équation remarquée ci-dessus,
f •(**) H- *a(*0 + ••■ + *«(**) = <>, ce qui s'accorde avec la condition qu'il faut développer, d'après le § III, iOJ'(gk) = o (§ XII, 11). Les quantités T* (#*)* 9» (#*)> • • ' sont ^ e m ^ me s 'S ne ? puisque le produit de deux quelconques d'entre elles est égal à un carré positif (§ VII, 5). Leur somme ne peut donc s'annuler que lorsque chacune d'elles est nulle. Donc, dans les valeurs fractionnaires trouvées pour c if i , c t ,*, • . . , c„,*, les numérateurs s'annulent, ainsi que les dénominateurs.
Remarque, — Par la transformation précédente de la fonction V, on reconnaît les maxima et les mi ni ma que présente la fonction donnée lorsque les variables sont assujetties à la condition
Ij4 SECONDE PAKTIE, § XV.
Comme on a alors en même temps
rî + rî-t- — *-r = '>
il s'ensuit que
v — *« r\ + g* y\ + • • • + fr y \ = £*-+- {gi — gk)y\+-> •+(£. — ?*) r 7 m -
De là résulte évidemment que V ne peut pas être plus grand (ou plus petit) que g k , si g k désigne la plus grande (ou la plus petite) des quantités g i9 g f , . . . , g n . La fonction V obtient cette valeur, lorsqu'on fait y x = o, y % = o, . . .\ y A ^=M, . . . , y„ = o, c'est-à-dire lorsqu'on fait
En traitant directement ce problème 1 on a les conditions
dS d\ d\
à satisfaire, et l'on a dS
et par conséquent
Cette équation n'est autre choscque l'équation trouvée cidessus ,
*i,l c *\* -+- a iA C *,k "H • . • -f" «,,„ C n ,k = gk Ci,k t
en remplaçant l'inconnue fi par^, et les inconnues x t ,
H . L'équation /(s) = o, qui se distingue par la réalité de ses racines (10), se présente dans plusieurs recherches,
par exemple, dans la détermination des axes principaux des lignes et des surfaces du second degré , dans la détermination des axes principaux d'inertie d'un corps donné, dans le calcul des inégalités séculaires des planètes (L api ace, Mémoire de V Académie de Paris ^ 1772, t. II, pp. 293 et 36a). Lagrange a démontré la réalité des racines d'une telle équation pour le cas du troisième degré (Mémoires de V Académie de Berlin , 1773, p. 108). Cauchy (/. c.) a démontré cette propriété pour le cas d'une pareille équation de, degré quelconque. La réalité des racines pour cette classe d'équations a été démontrée d'une manière nouvelle et directe par Kummer (Journal de Crelle, t. XXVI, p. 268; voir Jacobi, Journal de Crelle, t. XXX, p. 46), dans le cas du troisième degré, et par Borchardt (Journal de Liouville, t. XII, p. 5o), dans le cas d'un degré quelconque. Sylvester « ( Philos. Mag., i852, t. Il, p. 1 38) a donné de la même propriété la démonstration suivante, qui n'est pas moins directe (*).
Soient
a i,h =■ ajt,i et
tf,,, — z a t ,
a 2ti — z . ,
on aura
b-i,\ bi,i — a 1 . . . bi, m
( *) A Thistoire de ce problème se rapportent encore les Notes de Sylvester [Philosophie al Magazine, i853, t. H, p. 21 4) et d'Hérmite (Comptes rendus, i855, t. XLI, p. 181).
Ij6 SFXOVDK PARTIR, § XVI.
en posant, d'après la règle de la multiplication des déterminants (§ VI, 4),
*i.* — *' = tfi,i«/.|-T-- . .+(«/,• — ») («M -*-«) + . • • +«i,l|û|>,
*a=«*.i«*,i -h. . . + («/,/ — *)«*./+• • • ■+■ ^K*+î) et par conséquent
Le déterminant/(s)/( — *), développé d'après le § IV, 4, donne
chacune des quantités R,„, telles que
étant une somme de carrés (§VI, 2). Par conséquent f{q V 7 — /( — <l V 7 — i) est positif pour toute valeur de q ; donc <y y 7 — ' n'est pas une racine de l'équation/(z) = o. En posant déplus z=p-\-z', et changeant f(z) en F(z'), alors, pour la même raison, q sj — i ne peut être racine de l'équation F (z) = o, et par suite p-hq ^ — i ne peut être racine de l'équation f(z)=o. L'équation f(z) = o n'a donc que des racines réelles.
§ XVI. — Surface du triangle et volume du tétraèdre.
1 . Soient O l'origine d'axes coordonnés quelconques ; x, y et x i9 yi les coordonnées, parallèles aux axes, des deux points A et B; désignons par r, t\ les longueurs OA, OB, et
prenons, de plus, la surface du triangle OAB positivement ou négativement, suivant que la rotation déterminée par Tordre des points O* A, B, est ou n'est pas de même sens que la rotation qui sert à décrire les angles positifs. On a alors
2 OAB = rr, sin rr, =
X\ Xt
sin.r/(*).
Démonstration. — Il résulte immédiatement, de l'hypothèse faite sur le signe de l'aire du triangle, que tr t sin rr t s'accorde aussi pour le signe avec 2 OAB. Mais on a (§ III, 2)
r* r J sin 1 rr } = r* r J
1 , cos rr,
cos rr,, 1
rr , rr { cos rr {
rr, cos rr,, r { r x
Or on trouve, au moyen de la projection orthogonale.
r cosxr = x -h y cosxy,
r cos yr = x cos xy -h y ,
r = r cosxr -H y cosyr,
r, cos rr x = x, cosj:r H- y x cos yr.
La règle de la multiplication des déterminants (§ VI, 1 )
donne
-■.■*, {x-\-ycosxy)+y (xcosxy+y),x (x l +y l cosxy)+y (x^osxy-^-yM
(x+ycosxy)+y t (xcosxy-\-y), x t (x l +y l cosxy)-hyt(x i cosxy-+.y l )\
x -+- y cosxy, x cosxy +y
Xi-hy t cosxy 9 x l cosxy-\ r y l
t , COS-ry
*i fi
cosxy y 1
( *; Cette formule est contenue dans un théorème de Varignon (Mém. de Paris, 1719, p. 66). Elle a été donnée sons sa forme actuelle par Monge, Journal de l'École Polytechnique, XV e cahier, p. 68. C'est sur elle qu'est fondée ht formule pour la surface d'un polygone, que Gauss a insérée dans les Additions à la traduction de la Géométrie de position de Carnot par Schumacher. .On en trouve une démonstration géométrique rigoureuse dans la Statique de Mœbius, § 35.
De là résulte, e étant égal à 4- 1 ou à — 1 ,
rr x sin rr,
*t fi
sid xy.
Lorsque/ et x x sont nuls, r se change en x, r t enjv Par conséquent e = 1 .
Remarque. — Si le point B est infiniment voisin du point A, on a
r, = r-\-dr,
x x =1 x -h dx,
;.=/ + dy.
En désignant par l'angle xr, on a
2OAB = r*r/0 = , " . sin#r= , ", sin.rr,
y -h dy dx dy
en appliquant le § III, 4.
2. Par sinus de V angle solide (trièdre) formé par trois directions x,y, s, on entend, d'après v. Staudt (Journal de Crelle, t. XXIV, p. 252),le*facteurpar lequel il faut multiplier le produit des arêtes qui aboutissent à un sommet d'un parallélépipède, pour obtenir le volume du parallélépipède. En désignant ce facteur par sirfjyz, on a, comme on sait,
sinxyz =z smxy sin.r/, z = singer s\nxz smxy, xz ,
#j, z et xy, xz désignant les angles que fait le plan xy avec la direction z et avec le plan xz. Par analogie avec l'équation
sm*xy
1 cos xy
cos xy 1
APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l^D
par exemple, dans la détermination des axes principaux les lignes et des surfaces du second degré, dans la détermination des axes principaux d'inertie d'un corps donné, dans le calcul des inégalités séculaires des planètes (Laplacc, Mémoire de V Académie de Paris , 1772, t. II, pp. 293 et 36a). Lagrange a démontré la réalité des racines d'une telle équation pour le cas du troisième degré (Mémoires de t Académie de Berlin , 1773, p. 108). Cauchy (/. c.) a démontré cette propriété pour le cas d'une pareille équation de. degré quelconque. La réalité des racines pour cette classe d'équations a été démontrée d'une manière nouvelle et directe par Kummer {Journal de Crelle^ t. XXVI, p. 268 ; Tfoir Jacobi, Journal de Crette, t. XXX, p. 46), dans le cas du troisième degré, et par Borchardt (Journal de Liouville, t. XII, p. 5o), dans le cas d'un degré quelconque. Sylvester (Philos. Mag., i85a, t. Il, p. i38) a donné de la même propriété la démonstration suivante, qui n'est pas moins directe (*).
Soient
<*i,k = Ok,i
et
a, fl — z a XA
011 aura
(*) AIVk&wz*4* ** j^toue»**» nanti"*?! ~ vmh** +% **,§+* u-V'v^i». i8S3. t XU j. :*.
l8o SECONDE PARTIE, § XVI.
la sphère, décrite du centre O avec le rayon i , aux points X, Y, Z, R, Ri, R t , les angles solides xyz et t rr t r u ainsi que les tétraèdres OXYZ et ORRtRt, seront ou ne seront pas de même sens, suivant que les triangles sphériques XYZ etRRtR,, vus du point O, seront ou ne seront pas de même
sens. Dans le premier cas, sinxyz s= sinxys\nxy,z et
/\ sin/Tj/*, = siniTjsin/Tijr, seront de même signe, parce
que, dans des angles solides de même sens, sin xy 9 z et
sin rr t , r, doivent être de même signe ou de signe contraire, selon que s'inxj et sin rr,, seront de même signe ou désigne contraire. Dans le second cas, ces mêmes quantités sont de signe contraire.
4. Soient O l'origine d'axes coordonnés quelconques; (#, y^ z), (X|, y t , z t ), (x t , y^ z t ) les coordonnées des points À, 6, G, et désignons les distances OA, OB, OC par r, r t , r,. Enfin prenons le volume du tétraèdre OABC positivement ou négativement, selon que sin rr,r, sera pris positivement ou négativement. On aura
6 OABC = rr, r 2 sin rr x r 2 =
JT
JC 2
Zt
smxjrz (*).
Démonstration. — On a ( i ) r 1 r] r) sin' rr, r 2 = r* r J r
i cos rr, cos rr % cos rr x i cosr, r 2 cos rr 2 cos r,r 2 i rr rr x cosr r, r r^cosr r 2
rr, cos rr, r, r, r, r 2 cos r, r 2
rr 2 cos /r 2 r, r 2 cos r, r a r 2 r 2
(*) Lagrange, Sur /cj Pyram., \t\ ( Mémoires de l'Académie de Berlin, 1773, p. i49)« — Mohge, loe. c'a. — Moebius, Statique, §63.
APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l8l
Or on a, par la projection orthogonale,
rcosxr=x -{-y cos xy-\-z cos xz = X,
r cos yr = x cos xy •+- y H- z cosyz = Y,
rcoszr = a: cos xz -\-y cosyz -h z = Z,
r = x cos.rr •+- j cos /r -h z cos sr,
r, cosrr, = x t cosxr+ y { cosyr -h z,coszr,
etc. Si l'on désigne par X n Y n Z t les quantités analogues relatives à x u y i9 z t ; par X 4 , Y 2 , Z t les quantités analogues relatives à a:,, j - ,, 2 2 , on a
rr=r.rX+/Y+zZ,
rr, cos rr, = x t X -h ji Y -+- «, Z
= *X,H-,rY l -t-*Z l ,
etc. Par conséquent, en appliquant le théorème du § VI, 1 , on a, au lieu du déterminant ci-dessus, le produit
1 cos #7 cosxz cosxy 1 cosyz cosxz cosyz 1
x y z *t y\ Zi
Xi y t z,
*i Xi Zi
X* Yj Z»2
xi y, z. 2
Donc, en désignant ± 1 par e,
x y z rr,r 2 sinrr,r 2 = s
sin.u/z.
Si, parmi les coordonnées des points considérés, x^y u ^t sont seules différentes de zéro, toutes les autres étant nulles, alors r coïncide avec or, r 4 avec y, r 2 avec £, et le déterminant se réduit à son terme initial (§11,7). Par conséquent £ = 1 .
Remarque. — Au moyen des théorèmes (1) et (4), on peut interpréter géométriquement les plus simples des identités établies au § HT, 11 .
l8a SECONDE PARTIE, § XVI.
5. Soient donnés les points A, B, C par leurs coordonnées (a:, j), (o:,,^), (x iy y 2 ), rapportées à deux axes tracés dans le plan ABC. On a
aABC =
sinxy (*).
Démonstration. — Par rapport à un système d'axes mené par l'origine A parallèlement aux axes donnés, les coordonnées des points B et C seront (x t — x, y x — y) y (x % — x, j t — y) ; on a par suite (1 )
sin xy.
En appliquant ce qu'on a vu (§ II, S et § III, 4), on trouve, au lieu de ce déterminant,
Remarque. — Toutes les fois que dans la formule ABC on permute deux lettres , la surface du triangle change de signe. Effectivement, le déterminant des coordonnées éprouve un changement de signe par la permutation de deux lignes horizontales (§ II, 4). Par le développement de ce déterminant, on obtient l'identité connue
ABC = OBC ■+• OCA -+- OAB.
Pour exprimer la condition que A soit situé sur la droite BC, c'est-à-dire pour l'équation de la droite passant par B
( * ) Cotte formule connue a été donnée sous cette forme par Cayley, Camhrige Math, /«urn., t. II, p. 268, et par Joachimslhal, Journal de Crelle, t. XL,
APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. * l83
et C , on trouve , à cause de ABC = o dans ce cas ,
6. Si les points A , B, C, D sont donnés par leurs coordonnées relatives à trois axes (a:, j, z), (x i9 j i9 z x ), (x%>y*i *«), (^s,y«, zt), on a* I x y z
i x x y x z x i x-i y t Zi
Démonstration. — Si l'on mène par A un système d'axes parallèles aux axes donnés et de même direction , les coordonnées des points B, C, D par rapport à ces axes seront (*, — Xjjri— y, zi — z), (x t — x,y t —y,z t — z),etc.î par conséquent on a (4)
