ABCD

sin xyz.

En appliquant ce qui a été vu (§ II, 5 et § III, 4) , an trouve, pour la valeur du déterminant multiplié par sin xyz ,

i y x x — Xy y x — y y z x — z

i y Xi — Xy y 2 — y y Zi ~~ z

i } x$ — Xy y 3 — y y z s — z

Remarque. — Lorsque dans la formule ABCD on permute deux lettres, le volume du tétraèdre change à chaque

(*) CAYLEY, loc. Cit. — JOACHIMSTHAL, loc. Cit.

l84 SECONDE PARTIE, § XVI.

fois de signe, ainsi que le déterminant qui entre dans son expression.

La condition pour que A se trouve dans le plan BCD, et par suite l'équation du plan BCD, est ABCD = o , c'està-dire

i -r..Ji h i jr-i y 7 z 7

ou , en développant ,

•*i fi Z t

i Xi *■

I oc { z,

I *2 Xi

*3 Xi Z %

dont on aperçoit immédiatement la signification géométrique.

7. La position du point P par rapport au tétraèdre OÀBC est déterminée par les rapports des tétraèdres

obcp : ocap : oabp : oabc = ^ : p, : p 3 : i (*).

Soient, en effet, (#i,yi, *i), [x t ,y % ,z % ), [x z , j 8 , * s ), (x y y, x) les coordonnées de A, B, C, P par rapport à trois axes passant par O. On a (4).

et ainsi de suite.

En développant ces équations, et désignant par £ t , y;,, £,,. . . les coefficients de x„ j u z t ,. . . dans le détermi-

•*i Ji «I

(*) Lagkange, Sur les Pyram. } 28.

nain V, il vient

Si* 4-Ui / 4- ï|2 = f*|V,

(I) ç 2 x -+-ihj 4- ! ; 2 s =f* 2 v,

Or on a (§ UI, 1)

*i5i +*ife H-o: 3 Ç s = V,

etc. Par conséquent

X = fA,J?, -+- {A 2 r 2 -f- fA 3 -^3>

r = f*i ri + f*»r» 4- f* 3 r3 >

•**i JTi *i

•£2 yi %2

* » Jl «1

#2 JK"2 *2

Pour déterminer le rapport PABC:OABC =fx, développons le déterminant

1 33/3*3 c'est-à-dire (6 et 4) ,

PABC = ABC — OBCP — OCAP — OABP , f* = 1 — Fi — I** — f** - Delà résulte, a, i, c, t/ étant des quantités quelconques,

a -+- for -f- cy 4- rfz = pa 4- fx, (a h- bx { H- c/, H- <& t ) 4- f*2 (a 4- &r 2 4- c/ 2 4- dz 7 ) -h p 3 (« 4- &r s 4- *T 3 4- <k 3 ).

Pour trouver la signification géométrique de cette équation, concevons le plan qui a pour équation

a -+- bx' -+- cy' 4- ih' = o.

(in)

l86 SECONDE PARTIE, § XVI.

Si ce plan est rencontré par des parallèles aux z , menées par P, O, A, B, C, aux points F, O 7 A', B', C, et que Fait pour coordonnées x, y, z', on aura

a ■+- bx -+- cy -f- dz' = o ,

a + bx-\-cy -t-dz = d(z — z') = d. P'P,

etc. On a par conséquent l'équation

(IV) P'P = ii . O'O -f- pt, . A' A -+- f*, . B'B + p, . C'C (*),

où l'on peut entendre par F, CK, A', B', C, les intersections d'un faisceau quelconque de parallèles, menées par P, O, A, B, C, avec un plan quelconque. Par suite on voit que P est le centre de gravité des masses p , jUt , fz 2 , fx 8 , placés en O, A , B, C , et dont la somme est égale à l'unité.

8. Soient A t , B â , C t les milieux de OA, OB, OO, le tétraèdre OABC sera partagé en deux parties équivalentes par chacun des plans A t BC , AB t C , ABCt ? et le centre de gravité P du tétraèdre OABC se trouvera sur chacun de ces plans médians , de telle sorte "qu'on aura

A,BCP=o, AB,CP = o, ABC,P = o.

A, ayant pour coordonnées jX A , jYh |^i, on a (6), d'après les notations précédentes,

(*) Feuerbach, Untersuchung der dreieckigen Pyramide, p. 5. — Moebus, Baryc. Cale, cap. i . Les quantités /x, p,, /*,, // 3 sont les coordonnées barycentriques (coeflicients coordonnés ) du point V par rapport à la pyramide fondamentale OABC, selon Mœbius ct Fcucrbach.

eic. Par conséquent

2 fi, 4- f/-2 -+" f* 3 = ■ > p, -h 2fX 2 4" f*3 = 1 î

f*I ■+■ fi» -t" 2 f* 3 = I ,

d'où l'on tire

f*. — fA 2 =0, fA, — f* 3 = 0, f&, = fA a = fA 3 = 7-

Donc a = T , et Ton a

__ Jl -+- X> + /3

c'est-à-dire que le centre de gravité d'un tétraèdre est le sommet commun de quatre tétraèdres équivalents, ayant pour bases les faces du tétraèdre , et aussi le centre de gravité de quatre masses égales, ayant leurs centres de gravité

respectifs aux sommets du tétraèdre (*).

9. Etant données les équations des côtés d'un triangle par rapport à un système de deux axes, on trouve la surface du triangle de la manière suivante (**). Soient

les coordonnées des côtés, c'est-à-dire, supposons que. pour chaque point du premier côté, ayant pour coordonnées p, y, on ait a -\- bp -+- cq = o, et de même pour les autres. Les coordonnées des sommets (x^y), (jCi,/i), (;r,, y,), avec les trois quantités auxiliaires^, p u p*, sont déterminées par les équations

a -\-b x-hcyz=zp t a -\-b x x -f-c ji = o, a -*- b x 2 -+-c j 2 =:o, a l +b i x-i-c i y=zo, a x -\-b x x x -\-c l y i =p l , a x + b x x 2 -)-c x y 2 = u, a 2 -\-b 2 x->rC 2 y — 0, a 2 -\- b 2 x x -f-<v, r= o, a 2 -\-b 2 x 2 -\-c 2 y 2 =zp i>

( *) Lagrakge, Sur les Pjr., 3i-35.

(**) Joacuihsthal, Journal de Crclle t t. XL, p. =3

lesquelles expriment que le point (x , y) est situé sur la deuxième et sur la troisième droite, mais non sur la première, etc. On a, par le § VI, 1 ,

abc

i ^yi

Des trois premières équations, il résulte (§ IX, 3 ; §111, 3)

abc

a 3 bi Ci

a-j b 7 Ci

o b 2 Ci

R — pcL = O,

en désignant par R le déterminant des coefficients des droites, et par a le coefficient de a dans ce déterminant. On a d'une manière analogue

Par suite, il vient (§11, 7) p o o

= pp tP i=z

o p x o oo^,

aa,a 2

aa, a 2 I .r 2 / 2

a surface cherchée du

et par conséquent le double de triangle a pour valeur

R* sin xy

aa,a 2

Après avoir calculé , par les formules connues , les hauteurs du triangle, c'est-à-dire les distances des points ( x , j) , ( x { , Yi ) , (a:/, y 2 ) à la première , à la deuxième , à la troisième droite respectivement, on obtient les côtés du triangle en divisant par ces hauteurs le double de la surface que Ton vient de trouver.

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS, l8g

Si le déterminant des coordonnées linéaires s'annule sans que deux lignes horizontales soient composées des mêmes éléments, alors les trois droites passent par un même point situé à une distance finie.

10^ Étant données les équations des faces d'un tétraèdre par rapport à un système de trois axes, on trouvera le volume du tétraèdre de la même manière qu'on a trouvé la surface du triangle au moyen des côtés (*). Soient

alblcld, ar.br. c x \d x , a t \b t \c t ld* 9 a z \b % :c % \d^

les coordonnées des faces, c'est-à-dire supposons que pour un point quelconque de la première face ayant pour coordonnées /?, y, r, on ait a -4- bp -+- cq -4- dr = o, etc. On déterminera les coordonnées des sommets (a:, y^ z),

(xt^ji, z t ), (#,, j t , *,), (x 8 , r*> **)> avec les q uan -

lités auxiliaires p, p t , p t , p & , par les quatre systèmes, de quatre équations chacun,

a H- bx -hcjr -+- dz =p> a x -h b l x-\-c l y-\-d i z = o, a* H- b 3 x-r-c 7 jr-+- d 2 z =z o, a 3 H- biX-\-c z jr-\-d i zz=io,

etc.,. lesquelles expriment que le point (x, y, z) est situé sur le deuxième, le troisième et le quatrième plan, et non sur le premier, etc. On a (§ VI, I)

bi Ci d 2

( * ) JOACHIMSTHAL, loc. Clt .

igO SECONDE PARTIE, § XVII.

Du premier système de quatre équations on tire

R étant le déterminant des coordonnées superficielles, et a le coefficient qui multiplie a dans R. On a semblablement

et par conséquent

PPiPtP»--

1 * 3 JT* *:

cl ot ( a 2 a 3

et le sextuple du volume cherché du tétraèdre (6) aura pour valeur

R 3 sin .ryz

a a 1 3tj a 3

De là on peut, au moyen des hauteurs du tétraèdre, déduire les aires de ses faces.

Si le déterminant des coordonnées superficielles est nul, sans que deux lignes horizontales de ses éléments soient identiques, les quatre plans passeront par un même point situé à une distance finie.

§ XVII. — Sur les produits de surfaces de triangles et de volumes de tétraèdres.

1. Soient x,y 9 r, r x des directions quelconques dans un plan, et supposons que les angles positifs entre ces directions soient décrits par des rotations de même sens. On

aura

sinxjsinrr, =

cos xr cos yr cosxr, cos yr x

Démonstration. — On peut, sans altérer les angles, faire partir les directions données d'un même point O. Prenons sur les directions r, r t les segments positifs OA = r, OB= r 4 , et soient (x,y)i foi if\ ) les coordonnées des points A, B par rapport aux axes #, y. On aura (§ XVI, \ )

rr x sin xy sin rr x =

I COSary

*! Xi

cosxy i |

x ■+- y cos xy, x cos xy -|- y

^i ■+- r « cos .rj, x x cos .r>- -h r ,

r cosxr y r cosyr-

r x cos xr

r, cos jr,

d'où résulte (§ III, 2) la proposition énoncée.

2. Les triangles AA t A 2 et BB, B, étant situés dans un même plan, si Ton pose

AA.-.BB*. cos (aa,-,BB*J = <?,-,*,

ou aura