cos 2 /* = o

h n = — 1 -H co&xa coi.vb 4- cosya cos yb = — 1 -f- cosab = -— 2 sin* — >

etc.

En faisant sortir le facteur ( — a)* du déterminant des éléments /*„ , , A 38 (§ III, 2), on obtient l'équation cidessus.

En introduisant ensuite les axes x, y, z, pour lesquels sxnocyz = 1, on a (6)

sin a 6c =

COSJLYI cosj« cos sa cos.r6 cos/£ cosz£ cos xc cos /r cos zc

, etc.

vl par conséquent sin abd 4- sin 6<v/ 4- sin r« rf — sin abc =

I C0SJ7? cosjn cos&z

1 cosxb cosfb cos zb

1 cos xc C0SJT cos zc

1 cos,r</ cosjvf coszd

d'où, par une méthode analogue à la précédente,

/'i. A l2 h — (sin abd -+- sin bcd ■+• sin cad — sin abc) 2 =

Au ^„ kn h n h u

en posant h tl = — 1 H- cos' ara

- COS'jtf

■ cos /rt cos yb ab

• cos'za

cos za cos ib

= — I -+-COStf6 = — 2810* »

etc ....

En dégageant de ce déterminant le facteur ( — 2)*, on obtient l'équation qu'il s'agissait de démontrer.

11. En désignant par a, b,c les directions des rayons OA, OB, OC d'un cercle; par/*, g, h les carrés des côtés du triangle inscrit ABC ; par r le rayon du cercle-, en multipliant par 8r 6 les deux membres de la première des équations goniométriques établies au n° 10, et remarquant que

ab Hsiniitv = 2OAB, A^sin* — :

on a

(4r.ABC)' =

:h, etc. . .;

relation connue.

En désignant par a,b,c,d les directions des rayons OA, OB, OC, OD d'une sphère ; par/, g, h les carrés des arêtes BC, CA, AB du tétraèdre inscrit ABCD ; par/', g', ht les carrés des arêtes respectivement opposées AD, BD, CD; par r le rayon de la sphère; en multipliant par i6r 8 les deux membres de la seconde des équations établies au n° 10,

et observant que

HsinaW = 60ABD, i^sm' — = //, etc..

il vient

(24r.ABCD) 2 = —

pour l'expression du rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre, en fonction des arêtes et du volume (*).

12. Le produit, que Ton rencontre souvent, de deux longueurs par le cosinus de l'angle qu'elles comprennent, peut s'exprimer au moyen des carrés des droites qui joignent les extrémités de ces longueurs, moyennant quoi les produits de polygones et de polyèdres peuvent prendre des formes remarquables.

En prenant les notations du n° 5, III, on a

2Â6.GDCOS77, = 2AD.CDcosa.7t — sBD.CDcos^,.

Or on a généralement

2AD.CDcosa l7 , = AD 2 -+- CD 2 — AC 2 , 2 BC. CD cosp l7 , = BD 2 +- CD 1 — BC%

et par suite

2 AB.CDcos 77i = AD 3 — BD 2 — (AC — BC 2 ) (**).

13. En désignant par d i9l le carré de la distance A,B*, on a, pour deux triangles dont les plans font erçtre eux

(*) La relation trouvée par d'elle ( Malh. Aufsatzc, t. I, p. 117) a été ramenée à cette forme par Joachimsthal, loc . cit. (27). ( * * ) Carnot, loc . cil .

l'angle <p,

rôAïAaAs.BiBsBj.cosy =

1 d xx d 2X d 3X 1 d X2 d 22 d 32 1 d t3 d 23 d 93

les premiers indices se rapportant au premier triangle, et les seconds indices au second triangle.

Démonstration» — D'après (3), on a, en vertu des notations adoptées,

16 Ai A 2 A 3 . B, B* B 3 . cos? =

2Cj 2 2f3J

Or on a (12)

zci,k = dt^"— à it k — (d xx — d itl ).

Le déterminant

d t2 — d 22 — (d tl — d 2l ), d X2 — d 32 — (du — d 3l ) d l3 — d 23 — ( d xt — d 2X ), d i3 — d 93 — (d x , — d it )

peut (§ II, 6, et § III, 4) se transformer en

, £#,,-r— flf a i — (i/ t ^ — ûfai), d tl — d 3X — (du — d 3X ) , d i2 — d 22 — (d XÏ — ^21), d X2 — d 32 — (d lt -"d 3X ) , d ls — d 23 — (d xl — d 2t ) y d X3 — d 33 — (d xx —d 3X )

d xx , 1 , d xx — d 2x , d xx — d 3i

I, d l{ -r-d 7l , d tx — d tl 1, d X2 — d 229 d l2 — d 32 *> d X3 — d 23y d X3 — d 33

1 d xx d 2X d 3X 1 d X2 d 22 d i2 i dt, d 23 rfsa

Corollaire I. — Si les points B 4 , B, , B 8 coïncident res-

( *) La proposition établie pour la première fois par Von Staudt, loc. cit., a été mise sous cette forme, d'après Cayley, par Sylvester (Phiiosophical Magazine, r852; t. Il, p. 335). Voir ci-dessous § XVIII, 9 et 12.

204 SECOKDE PARTIE, § XVII.

peclivcment avec les points A, , A* , A 3 , on a cos (f = i , di t k = dk t i , d it i= o , cl par suite

1 o d n d n i d t2 o rfj 3 i rf ls d 73 o

ce qui coïncide avec l'expression connue de la surface d'un triangle en fonction de ses côtés (§ Y, 2).

La condition pour que Ai , A, , À s soient en ligne droite sera

i o d xi d ï3 i d lt o </„ i d l3 <4 3 o

Pour une position quelconque d'un point sur la droite qui passe par les deux autres points, il y a un des facteurs du déterminant qui s'évanouit.

Corollaire II. — La surface d'un quadrilatère plan étant

A| A.j A3 A4 ^2 A| A2 A3 — r" Ai A3 A4 ,

on a, pour deux quadrilatères plans, dont les plans font entre eux un angle (f ,

1 6 A , A 3 A 3 A« . B, B 3 B 3 B 4 . cos <p

: i6A,A 2 A 3 .B, B 2 B 3 .cosq>-hi6A, A 2 A 3 .B,B 3 B 4 cosy -hi6A,A 3 A 4 .B,B,B 3 .coS(p-f: *6A, A 3 A 4 .B,B 3 B 4 .cos(j)

1 d u d 3l d kK

rf„

rf»

rf«

rf„

rfsl

rf,:,

rf«

»d lt

dxi

Si donc A et B sont les surfaces de deux polygones plans de m et de n côtés, dont les plans font entre eux l'angle <p, ABcosy sera la somme, prise négativement, de (m — 2) (/i — 2) déterminants du quatrième degré et de la forme ci-dessus. Ce sera donc une fonction rationnelle et entière des carrés des droites qui joignent les sommets de l'un des polygones avec ceux de l'autre (*).

14. En désignant par d ifk le carré de la distance A, B*, on a, pour deux tétraèdres,

208 Ai Â2A3 A4.B1B2B3.B4 =

les premiers indices se rapportant au premier tétraèdre, et les seconds indices au second tétraèdre.

Démonstration.—- Le produit cherché est, par le n° 7, égal au déterminant

7 — d 2J — (d lx — d 2X ), d X2 — d i2 — (d ti — d 3i ), d X2 — d h2 — (d n — d 4l )

13 — «» — (d xx — d 2l ), d l3 — d n — (d u — d^) 9 d X3 — d AZ — (d n — d u )

14 — du — ("'m — «*2i)> «'u — d u — (d lt — d Zi ) y d XA — d 4A — (d xx — d tx )

lequel peut se transformer, de la manière indiquée au n° 13, en

d tl

d ti

i> du — d 7ly du — d$t y du — d 4l

1 5 "13 mmmm «Î3 y «13 — ~ "33 ) «13 — «43

1 , d ti — d u , d XA — d H , du — 1/44

1 du d 7l d 3l d it

I b XA d u (t u d Ai

(*) Von Stau»t, toc. cit.

Gorollàire I. — Si Ton fait coïncider les points B, , B t , B 8 , B* respectivement avec A,, A t> A lf A 4 , on a

di,k = dk.i , d iti :

et par suite

rf..

rf.i

En développant ce déterminant d'après le § V, 2, on retrouve la formule connue, donnée par Euler (Nov. Comm. Petrop., t. IV, p. i58) pour le calcul du volume du tétraèdre en fonction des arêtes.

La condition pour que les points A,, A,, A 8 , A 4 soient dans un même plan sera

ce qui s'accorde avec l'équation entre les distances mutuelles de quatre points d'un même plan (Euler, A et a Petrop.,6, 1, p. 3.)

Corollaire II. — Un polyèdre étant donné, onpeut, au moyen des droites tirées d'un sommet A, vers les autres sommets A t , A 8 , A 4 , . . . , et des plans qui comprennent ces droites prises convenablement deux à deux, le décomposer en pyramides triangulaires, ayant pour sommet commun A|, et pour bases des portions de la surface du polyèdre. Rangeons les systèmes de trois points, qui déterminent les bases de ces pyramides, dans un ordre tel, que

toutes les portions de la surface du polyèdre, vues de dehors, soient de même sens. Alors les pyramides qui composent le polyèdre seront de même signe ou de signe contraire, suivant que leurs bases, vues du sommet A,, seront de même sens ou de sens contraire.

On peut d'après cela considérer le produit de deux polyèdres comme une somme de produits de tétraèdres pris deux à deux, et le mettre sous la forme d'une somme de déterminants du cinquième degré, tels que ceux que nous venons d'indiquer. Le prodw de deux polyèdres est par conséquent une fonction rationnelle et entière des carrés des droites qui joignent les sommets de l'un des polyèdres avec ceux de l'autre, comme v. Staudt l'a remarqué.