COS 02 COS

d'où s'ensuit, d'après le § XVI, 2, la démonstration de la proposition énoncée.

Remarque. — On déduitdela même manière du§ XVH,7, l'équation

7" 7*« 73i (36AA,A 2 A 3 .BB I B 5 B 3 ) J =: 7., 722 732

y a 7»i > • • • > étant les coefficients de c n , c u , . . . , dans le déterminant des éléments c li9 » . . , c 88 , et désignant des produits de surfaces de l'espèce considérée au n° 3.

16. Lagrange (Sur les pyr.^ 12) a remarqué que, pour la quatrième face ABC du tétraèdre, on a, d'après les notations adoptées au n° 15, l'équation

4(ABC) a = a 00 4- a,, -f- a 22 4- 2a ol -+-2a l2 -h 2a 2o ,

ou bien

(ABC) 2 =/* -f- f\+f\ + 2//i<*s 0l 4- 2//, cos l2 H- 2/,/œs^

Cette équation s'obtient de la manière la plus simple, en la considérant comme la corrélative polaire de l'équation tétfàgohométrique (voir § XVI, 4, et § XVIÏI, 2, corollaire)

^ = jî î + / , + î , + mjr cosxy -f- 2/zcosjz 4- 2z.rcos&c.

A l'aidedes formules trouvées pour(2 ABC)*et (6OABC) 4 , Lagrange (Sur les pyr., 17) a entrepris la résolution du problème qui consiste à déterminer le tétraèdre de volume maximum ou minimum, parmi ceux dqpt les faces ont les ai res don nées fjfiyfaft- A causé oe . ■

«oo = 4/% a u=4/î> *« = 4/î>

<*oo H- an -H a« -4- 2 a , -+- 2a„ -f- 2a, = 4/3 >

la quatrième puissance du sextuple du volume du tétraèdre, savoir (15),

«oo ' «il/ *©j a i - a,, a,j .

sera une fonction de variables a ou a oî , a 12 , dont la somme v a une valeur donnée. Les conditions pour que n obtienne une valeur maximum ou minimum sont, comme on sait,

du dv du, dv du dv

da 0i d<z 0l ' da 0i da 02 ' da. {2 da n

fi désignant une nouvelle variable, qu'il s'agit d'éliminer

entre ces équations. Or — ; — est le coefficient de a 0l

1 2 aa t ,

dans' ï/ (§ III, 9), et a pour valeur R« 01 (§ VU, 3), en

posant (15)

a H a ol a„ R = V^ =

De plus, on a — — = i , etc .... ; par conséquent le tétraèdre

cherché doit satisfaire aux conditions a 0i = a ot = a lt , c'està-dire

rr, cos rr x = rr 7 cos rr, =? r, r 2 cos r x r 7 . En posant la valeur commune de ces produits d'arêtes = y0,

il vient

r\r\ = + 0*,. r\ f* = H-a,,, r*rî==0H-a„,

*■ pour le calcul de r, r t , r, au moyen des quantités données et de la quantité 0, qui reste encore à déterminer. Or on a, dans le cas actuel,

«o. h- a» -h «m = 3 e —.(h -h /■; -£ /») fî

= la quantité constante -<-.;- («oo 4- «it H- «m — 4f\)* q uc nous désignerons, pour abréger, par — c. On tire de là

(/" + /•; +rî)v / ë==3e-hc,

(z^ + rî +rj H-aHr; H- 2 r'rj -h 2 rj^) = 9 0' -h 6*0 -f- c\

• (0 -H «n) a (6 -h a M ) 2 H- ©(O ■+■ «»)' ( G + a w)' + ô ( ô + «■*)* (® + «..) 2 = [3e j H-20(c — 4/ ,5 3 )4-^](e + a 00 )(e-f-a 11 )(0-ha M ),

équation du quatrième degré pour le calcul de la quantité auxiliaire 6 au moyen des quantités données. Cette équation

a toujours une racine réelle positive, puisque le coefficient de 0* ; dans le premier membre, et le terme connu, dans le second membre, sont de même signe.

Il reste encore à désirer une discussion plus approfondie • de cette équation, ainsi que 1 étude des propriétés g^Or métriques des tétraèdres qui ont un volume maximum pour des valeurs données des aires de leurs faces.

§ XVIII . — Relations polygonométriques et pofyédrométriques.

1. Soient AB = a t , BC = tf t , . . . , MN = û m , NA = a„ les côtés d'un polygone donné quelconque, et cos^, le cosinus de l'angle que la droite sur laquelle est pris le i ieme côté du polygone fait avec une droite donnée quelconque. On a

«icos^t-h a 3 cos^,,, -h . . .-\-a n cos Ptn =z o (*).

En effet, si l'on désigne par A, , Bi , . . • les projections orthogonales de A, B, . . . sur la droite donnée, on a

en supposant A t B t = — B t A lT etc. On a "!

A, B, = ABcoSj,,,,

de quelque manière qu'on ait choisi la direction des segments positifs sur les droites dont AB et A, Bj sont des segments, parce que, en changeant une direction en son opposée, il y a deux des quantités AB, AjBi , cos p>1 qui changent de signe. En substituant les valeurs de Ai B l5 B1C1,..., on obtient l'équation fondamentale de la polygonométrie que nous venons de poser.

(*) Lexell, Nov. Comni. Petrop., 19, p. 187. — L'Huilier, Polygonométrie, p. 20. — Carnot, Géom. de pos., ib^.

Réciproquement, si a t , a % , . . . , a n désignent des segments de direction donnée, et cos^, le cosinus de l'angle que fait la droite sur laquelle est pris le i l>m * segment avec une droite quelconque ; si la somme

• a 2 cos„

s évanouit, de quelque manière que l'on choisisse la droite arbitraire; on obtient un polygone fermé lorsque, sans changer la direction des segments, on fait coïncider le commencement du second avec la fin du premier, le commencement du troisième avec la fin du second, etc; car, dans le cas où la fin du dernier segment ne coïnciderait pas avec le commencement du premier, la somme

* I COS,,, -f- t*2 COS pt7 -h • • • H- fi R CQSp, n

ne serait pas nulle en général, ce qui serait contraire à l'hypothèse.

2. Si les périmètres des faces d'un polyèdre quelconque sont tels, que toutes les faces, vues de dehors, soient de même sens; si, déplus, après avoir fixé dans chacun des plans le sens des angles et des surfaces positifs, on pose les faces du polyèdre = a t , « 2 , . . . , a n ; si enfin cos^, est le cosinus de l'angle que le plan sur lequel est située la face (Xi fait avec un plan pris arbitrairement; on a

a. cos,,, -f- a a cos,,, -+- ... H- a n cos^ n = o (*).

Démonstration. — Considérons, d'après ce qui a été dit dans le corollaire II du § XVII, 14, le polyèdre comme décomposé en tétraèdres : soient ABCD l'un d'eux et Ai Bi C t D t sa projection sur le plan arbitraire. On a (§ XVI, 5)

A, B, C, + C, B, D ( + B, A, D, + A t Ci D, = o ,

(*) L'Huilier, Théorèmes de Polyédrométrie, 1799 ( Mémoires présentés à l'Institut, t. I, i8o5, p. 264)- — Carnot, loc, cil.

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS 2l3

et par suite

ABC cos fth -f- CBD cos,,, -h BAD cos^,* 4- ACD cos p$ i = o,

h , i, #, / étant les indices relatifs aux plans des triangles projetés. Il existera des équations analogues pour les autres tétraèdres qui composent le polyèdre. En faisant la somme de toutes ces équations, on trouve "*

a, cos^, 4- a 2 cos^j ■

parce que chacun des triangles qui n'appartiennent pas à la surface du polyèdre appartient aux surfaces de deux tétraèdres, comme positif pour l'un et comme négatif pour l'autre, de telle sorte qu'il disparaît de la somme. Si, par exemple, le polyèdre est la somme des tétraèdres ABCD et ADCE, la surface de ABCD sera formée de