ABC, ACD, CBD, BAD
et celle de ADCE de
ADC, ACE, CDE, DAE,
et Ton voit que les faces ACD et ADC, situées sur le plan diagonal, sont égales et de signes contraires.
Corollaire. — Si Ton élève sur les faces du polyèdre les
perpendiculaires a x \ «z s ,. . ., a n , dirigées extérieurement,
et proportionnelles aux aires des faces auxquelles elles sont
respectivement perpendiculaires, on a aussi, en vertu de
l'équation que napj-renons de démontrer,
a t coSf ,, 4- a 7 eos^j +... + fl n cos^ = o ,
où Ton peut entendre maintenant par cos^ le cosinus do l'angle que la droite sur laquelle est comptée fa distance a l fait avec la normale à un plan donné .arbitrairement, c'est-à-dire avec une droite quelconque, fin obtient par
2l4 SECONDE PARTIE, § XVIII.
conséquent (i) un polygone fermé, lorsque, sans changea la direction des segments a t , a % , . . . , a n , on fait coïncider le commencement du second avec la fin du premier, le commencement du troisième avec la fin du second, etc. Les angles des côtés de ce polygone sont égaux aux angles des faees du polyèdre, de sorte que à toute relation polygonomé trique correspond une relation pofyédrométrique.
3. Si les droites (plans) répondant aux divers indices sont parallèles aux côtés (faces) d'un polygone (polyèdre) quelconque, on aura
COSi,i cos,, 3 COS 2 ,i COS 3 , 2
cos,,,, cos,, n
cos„,, cos,,,,
cos„
en même temps que cos l)4 = i , cos,,* = cos A>I .
Démonstration. — De l'équation démontrée ci-dessus résulte le système d'équations linéaires
a, cos,,, -f- a 7 cos lf2 4- ... -H «„cos,, n = o,
«i <-*os„ tl -h a 2 cos„ #2 -h ..-+-«„ cos,,,,, = o.
La résultante de ce système linéaire (§ IX, 3) est précisément l'équation qu'il s'agissait de démontrer.
Puisque trois droites or, y, r, parallèles à un même plan, sont aussi parallèles aux côtés d'un certain triangle, on a, comme on sait, *.'* f
i cos xr cosyr
cos xr i cos xy
COS yr cos xy i
Étant données quatre droites (plans) quelconques x^y, 2, r, on peut construire un quadrilatère (tétraèdre), dont
les côtés (faces) soient parallèles aux droites (plans). On a par conséquent
i cos xr cos yr cos zr
cosxr i cos xy cosxz
cosyr cosxy i cos jrz
cos zr cos xz cos yz i
Cette équation , que Ton peut développer d'après le § V, 2, fait connaître la liaison qui existe entre les cosinus des angles formés par quatre droites (plans), entre les côtés et les diagonales d'un quadrilatère sphérique, entre les angles dièdres d'un tétraèdre.
Si, en particulier, x, j', z, r désignent les directions des arêtes AB, AC, AD, et du rayon AE de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD, en faisant AB = A, AC = c, AD = d, AE = e, on a
i : cos xr : cos yr \ cos zr l = ie \ b \ c \ d y
et par suite (§111, 2)
(III
b i cosxy cosxz
c cosxy i cosyz
d cosxz cosyz i
formule qui sert à calculer le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre en fonction des arêtes d'un angle solide et des angles que ces arêtes font entre elles. Si au contraire E désigne un cinquième point quelconque de l'espace, on
(* ) Càrnot, Géom. de pos. } 35o .
(**) Legendre, Éléments de Géométrie, Note V. Cette équation ne diffère pas essentiellement de l'équation donnée par Lagranpe (Sur les pyr., ai ).
2l6 SECONDE PARTIE, § XVIH.
a, d'après les notations précédentes (§ III, 2),
(IV
be cos xr
ce cos yr
de cos zr
be cos xr
bc cos j;r
bd cos xz
ce cos yr
bc cos xy
cd cos ^5
de cos zr
bd cos xz
cd cos y z
En exprimant le produit de segments be cos xr au moyen des carrés des côtés du triangle ABE, et de même pour les autres, on obtient l'équation entre les carrés des distances mutuelles de cinq points de l'espace. Cette équation est du second degré par rapport au carré de chaque distance, ce qui s'accorde avec la construction au moyen de laquelle on irouve une des distances, connaissant les autres (*).
