OA.BCD — OB.CDA 4- OC.DAB — OD. ABC

c'est-à-dire que la surface de révolution est coupée par un plan passant par un de ses foyers, suivant une ligne du second degré dont ce point est un foyer (Môbius, l. c. ).

12. La relation entre les distances mutuelles de cinq points dans l'espace a été donnée pour la première fois par Lagrange sous une forme trop peu développée \ puis elle a

été traitée à plusieurs reprises par Carnot, sans que Ion parvînt à un résultat présenté avec clarté (3). La relation la plus simple entre cinq points de l'espace A, B, C, D, E, dont les coordonnées par rapport à trois axes quelconques sont

( x i ty% $ z \ )? ( x * i Y* i z *) y • • • > s'obtient en développant d'après le § III, 6, l'identité (§ II, 4)

i i x, y x z y il x 2 y 7 Zt

cl interprétant, au moyen du § XVI, 6, les déterminants du quatrième degré auxquels on parvient, ce qui donne

( I ) BCDE 4- CDEA -f- DEAB 4- E ABC -h ABCD == o,

équation qui coïncide avec l'équation connue que l'on rencontre au § XVI, 7. En exprimant les volumes de chacun des tétraèdres en fonction de leurs arêtes (§ XVII, 14, corollaire I), on obtient une équation irrationnelle, dont le second membre est zéro, et dont le premier membre est la somme des racines carrées de cinq déterminants du cinquième degré. Pour rendre cette équation rationnelle, il n'est pas nécessaire de faire le produit des différentes valeurs que peut prendre le premier membre, en vertu de l'ambiguïté des radicaux carrés. U suffit, ce qui est préférable, de multiplier l'équation (I) par un de ses termes, parce que le produit de deux tétraèdres est une fonction" rationnelle des carrés des droites qui joignent les sommets de l'un. des tétraèdres avec les sommets de l'autre (§ XVII, 14J. L'équation cherchée a été développée pour la première fois sous une formé plus simple par Cayley (Cambr. Math. ./., II, p. 9.68). Par analogie avec, la méthode 'donnée

au n° 9, Cayley a multiplié le déterminant plus général

par

c s +JÎ I H-«î H- «J, 1, — -2.r 5 , — 2j.s, -2:,, — ai/» Ou trouve ainsi (§ VI, 3) "

où l'on a A A ,* = h k ^ (§ VI, 2), et de plus

^00 = o , A 0I = 1 , h 02 = 1 , . . . , A M = 1 , ^it = h n = . . . ±= // 55 = o ,

etc. ...

Si les quantités indéterminées u iy w 8 , . . . , u 5 sont nulles, R s'annule pareillement (§111, 2). Si Ton considère en même temps x if y i9 % z t comme les coordonnées rectangulaires du point A, etc. . . . , on a h i% = AB*, etc. . . . En désignant les carrés, des dislances du I er point au 2 e , au 3 e , ... , comme ci-dessus, par rf lt , /7 13 . . . , on a l'é-

quation cherchée,

i o d ï2 d n d u d xi

d l2 o du d u d 2%

d iZ d n - o d u d iS d u d u - d 3i

d\% d 2h dis d 4l

On peut développer ce déterminant d'après le § V, 2, ou simplement d'après le § III, 1 . Dans ce dernier cas on trouve

en désignant par i 0i , â ot , . . . les coefficients qui multiplient dans le déterminant les éléments de la première ligne horizontale. Mais on a, dans le cas d'une notation analogue