PREMIÈRE PARTIE
THÉORIE DES DÉTERMINANTS
^ I. — Partage des peiinulntwns délénieuts donnés en deux classes.
1. Les éléments truu arrangement dont on veut déduire les permutations se distinguent par leurs numéros d'ordre ou indices. Un élément est dit plus élevé, qu'un autre, lorsqu'il a un indice plus grand. La combinaison d'un élément d'une permutation avec un des éléments suivants s'appelle, relativement à l'arrangement primitif, un déiangemenl [*) lorsque le premier élément de la combinaison est plus élevé que le second. Par exemple la permutation a, a., a^ flt, contient quatre dérangements, «,«,, «403, ai^i, «3«i-
Les permutations d'éléments donnés ont été divisées par Cramer en deux classes, dont la première renferme les permutations où il se trouve un nombre pair de dérange-
(*) Cramer, Analyse des lignes courhcs, 1730; Appendice, p. G')8.
2 l'KEMlÈKE l'AUTJE, ^ I.
in(!iiis, et la so( onde les poiimiialious ([ui piésculeiil un nombre iinpdiv de dérangements.
2. Théorème. — Lorsque dans une permutation on échange un élément avec un autre, tous les éléments restants conservant leurs places, le nombre des dérangements existants dans la permutation varie d'un nombre impair (*).
Démonstration. — Soient g et h les éléments que Ion veut échanger, // le plus élevé des deux, A le groupe des éléments qui précèdent ^, 13 le groupe des éléments compris entre g et h, C le groupe des éléments qui suivent h. La permutation donnée étant ainsi
kg Bh C,
et cell<que l'on veut former étant
AhBgC,
la variation cherchée du nombre des dérangements provient de la position que g et h prennent l'un pai- rapport à l'autre, et par rapport aux éléments contenus dans B.
Soit /3 le nombre des éléments du groupe B, parmi lesquels il y en a [3, plus élevés que g^ et jSa plus élevés que h. Alors, outre les dérangements qui existent dans B, il s'en trouvera, dans rari-angemenl gBh. (i — i^i+lSa, parce que g est plus élevé que (3 — |3j éléments de B, et qu'il y a, dans B, jSo éléments plus élevés que h. Au lieu de ces
(*) La division des permutations l'ondôc sur ce théorème est due à Bczoul {Histoire de l'Académie de Paris, 170/1, p. 293), et a été démontrée pour la première lois par Laplace dans la môme collection, 1772, t. II, p. 29/1; elle l'a été ensuite plus simplement, de la manière que nous donnons ici, par Mollvvcide, Dcmonslralio climinalionis Cramcriavw, Leipzig, 181 1, § 9, cl par Gcr[;onnP, Aivinlcs do Muiluviaiiqucs, t. IV, p. i5o.
THÉORIE DES U tTF.RMINANTS. S
dérangements, rarrangement /tB^, formé par l'écliaiii^e mutuel de g et de h, présentera 3 — (3? -h i + .^i dérangements , puisque h est plus élevé que 6 — .S, éléments de B, que de plus h est plus élevé que ^, et qu'enfin il y a encore jS^ éléments de B qui sont plus élevés que g. La différence de ces nombres,
est impaire. c. q. f. d.
3. Par des échanges successifs de deux éléments, on peut obtenir l'une après l'autre toutes les permutations d'ui» arrangement donné. Les dérangements que l'on rencontrera dans cette suite de permutations seront alternativement en nombre pair el en nombre impair (2). Comme le nombre total des permutations est pair, il existera autant de permutations de la première classe, contenant un nombre pair de dérangements, que de permutations de la seconde classe, contenant un nombre impair de dérangements. Ces permutations se déduisent de larrangemeni donné, les premières au moyen d'un nombre pair, les secondes au moyen dun nombre impair d'échanges entre deux éléments.
Deux permutations appartiennent à la même classe, si elles peuvent se déduire lune de 1 autre, ou se déduire toutes les deux d une troisième, au moven d un nombre pair d'échanges entre des éléments pris deux à deux.
4-. Démonstration analytique du théorème (2). — Pour classer les permutations, formons dans chacune d'elles le^ différences des indices correspondant aux éléments, en soustrayant l'indice de chaque élément de celui de l'élément suivant. Une peinniialion contiendra autant de dérangements qu'il V aura de ces dillerouH-s (jui seront nég.i tives (h.
4 l'UKMlkUE PARTIE, ^ I.
Le produit de ces difjférctices est une jonction alternée des indices (**) (/ni prend la valeur opposée par réchange de deux de ces indices.
Démonstration (**). — Clia<jue dilï'érence en particulier, dans rechange tic deux indices, conserve sa valeur absolue; le produil conserve donc aussi sa valeur absolue. Si l'on désigne par i et h deux indices déterminés, et par /et s deux autres indices quelconques; par
les produits des facteurs dont les formules générales sont
si l'on désigne entin par s l'une des quantités -f- i ou — i, le produit des différences à former pour une permutation donnée pourra se représenter par
Si l'on échange maintenant / et k entre eux, les produits
\\{r — i){r—k) et n(/-— ,v)
ne changeront pas, et h — i prendra la valeur opposée. Donc le produit complet prendra la valeur oppohée.
Puisque, par l'échange de deux éléments de la permutation, le produit en question change de signe , il s'ensuit que le nombre des dilKérences négatives, et partant aussi le nombre des dérangements de la permutation, varient d'un nombre impair, comme on l'avait déjà démontié c i-dessus.
(*) Fonction alternée, suivant Cauchy [Juunuil de l'École Poljtpchniqur, XVII* cahici', j), 3o, cl Analyse algébrique, \. III, p. 2). — Funclio nllernans, suiTant Jacobi {Jouritat de Crclle, t. XXII, p. 3Go).
C» ) jAroiii, Del., 2 {Jown.il de Crclle, t. XXH, n» 11).
THÉORIE DUS DK'l ERMI JVAM S. 5
O. L'échange des élémcnls d un aiian^rnjcnt csi a|»ptlé perinulatiou circulaire, lorsque cliarjuc élément est remplacé par le suivant, cl le dernier éiémeni par le premier.
Par une permutation circulaire de tous les éléments, on tire (Vune pennutatio/i donnée une autre permutation (/ui appartient ou n appartient pas à la même classe, sui\'ant que le nombre des éléments est impair ou pair. Car la pcrmutalion circulaire de ti élémenls peut s'obtenir en échangeant le premier élément avec le second, puis avec le troisième, etc., ce qui fait ainsi n — i échanges d'éléments deux à deux.
D'une permutation donnée on en peut déduite une autre quelconque par des permutations circulaires cïjectuées sur des groupes séparés d'éléments. Soient, ]>ar exemple,
les indices des éléments dans la permutation donnée, cl
les indices des éléments dans la permutation à former. Commençons par le premier élément à déplacer dans la permutation donnée, et remplaçons successivement 7 par 2, ■ji. p»ar 9, 9 par 6, 6 par 5, 5 par 3, et enfin 3 par 1 élément 7 qui a servi de point de départ. On a ainsi séparé un groupe d'éléments sur lesquels ou a accompli une permutation circulaire. Maintenant, dans la suite des élémcnls lestants, remplaçons 4 pai 8, 8 par 4, <e qui accomplit la peimulation circulaire d'un second groupe d'élénuMits. J. élénunt i <|ui reste encore ne doit pas être remplacé par un autre. 0 après cela, l.i seconde permiitalinn a été déiluii»- de la première par des permutations ciriuiaire^ partielles.
En comptant pour un groupe particulier clwu un des éléments qui, dans le procédé que n«»us venons d(; décriio
6 PUEMiLrE rAHTlE, ^ I.
poui iléJiiiri' isiK' pciimitalioii (rime auiro, doivonl être remplaci's rt'S[)cclivcmeiU par onx-nicmcs, on a la règle suivante :
Deux pcnnulntions appartiennent ou n appartiennent pas à la même classe, suivant que la différence entre leur nombre (T éléments et le nombre des groupes par la permuta/ion circulaire desquels l'une des pernmtations données peut se déduire de l'autre, est paire ou impaire (*). En ellet, si les permuiations données sont composées de ?i éléments, et que la seconde se déduise de la première en partageant les éléments en p groupes de a,, a», «s,... éléments, cl en faisant subir à chaque groupe une permutation circulaire, ces pcrnnitalions circulaires pom'ront s'effectuer au moyen de
échanges d'éléments deux à deux. Or on a
donc la seconde permutation peut se déduire de la première au moyen de n — p échanges d'éléments deux à deux.
Pour amener les éléments du premier groupe à leurs nouvelles places, il ne faut pas moins de «j — i échanges d'éléments deux à deux, et ainsi de suite. Donc, pour déduire 1 une de laulre les permutations données, il ne faut pas moins de n — p échanges d'éléments deux à deux. Dans l'exemple ci-dessus, on a /? =z 3, // — p = 6 -^ par conséquent les permutations données appartiennent à la même classe.
( * ) (ÎAlcnY, Journal de r École Volj trthitiqur, WW rahicr, p. (\z; Annl)sr al^<'-hriqii'\ \'>l'' IV — Jacodi, Del., 3.
THÉORIE DES nÉTEnMI^ANTS. "1
^ II, — Dclcrmiiiant diui sjslcmc de tr cléments .
\. Si l'on considère m lignes horizontales de n élémculs chacune, ou, sous un autre point de vue, n ligues vei licales de m éléments chacune, pour distinguer en général ces éléments, il est commode de les atlccler chacun de deux indices, dont le premier marque le rang de la ligne à laquelle appartient l'élément, et le second le rang de lélénicnt dans sa ligne {*)'■, par exemple, on écrira
flm.^ f'n
Au lieu de «,, i, on écrit aussi a']' ou simplcmcnl (/, A). Lorsque ni = «, la série des clémculs
depuis le premier jusqu'au dernier, s appelle In diai^onalc du carré des éléments.
2. On entend par déterminant d'un système àv tr éléments, disposés sur n lignes de n éléments chacune, cl représentés par rt,, o ' et A recevant chacun toutes les valeurs 1 , 2 , . . . , n, la somme des pioduils de ces élémcnls pris n à «, de manière qu'il n'y eu ail pas deux dans le même produit qui appartiennent soit à la rnruic lij^nc horizontale, soit à la même ligne verticale. Le premier Ui nu
Cj Ci'Ue iiot;Uiuii .1 oU' om|)lo>ro piuir \.\ 1>1 iiniiic fi'is |..\r I.imI'Iii. Voir S!» Lcllic à LHos/jilal. tlii -jS iiviil iGgl, d;ins les Œuiics nialhrni.i' liqucs de Lrihniz |iiiMiéi's fai Gerii.vrdi, 1. H, y '■'''•'(]■
8 VUEMILUE PAllTli:, ^11.
du déterni'mant csi le produit des éléments dv la diagonale.
Du premier terme on déduit tous les autres, en laissant les premiers indices invariables et permutant les seconds. On prend chaque terme positivement ou négativement, suivant que la permutation des indices qui a servi à le former appartient ou n'appartient pas à la même classe que le premier airangement des indices.
Le déterminant de ii^ éléments est dit du n"""" degré, parce que ses termes sont des produits de n éléments. Il est formé de I . 2 . . . ?f termes, dont une moitié sont positifs et les autres négatifs (§ T, 3), et parmi lesquels il ne peut s'en trouver deux égaux et de signe contraire, tant qu'il n'existe pas de relations particulières entre les divers éléments. On désigne un déterminant, d'après Caiichy et Jacobi, eu renfermant le système des éléments entre deux traits verticaux, ou en plaçant sous le signe sonimatoire le premier terme précédé du double signe ± ; ou, d'après Vandermondc, en plaçant la série des premiers Indices qui servenl à distinguer les éléments, au-dessus de la série des seconds indices (*) :
tl\A fit,!- ■ ■ ">.u
(*) (^AiciiY, Journal lir lEcole Poly l'chni'juc, XVIF c.'ihici , p. b2 — Jacoi'.i, Del., /|, cl Journal de Cicllc, l. XV, p. 1 15. — Vandeumonde, Histoire de. l'Académie de Paris, 177J, t. Il, p. 617. Les dctermiiiaiitb ont otc découverts par Leibniz {loc. cit.), qui a cherche à rcprOsenler j»ar leur moyen lu résultante de n équations linéaires à n — i inconnues, ainsi que la résultante de deux équations algébriques quelconques h une inconnue. Comme second invcnff'ir des détcrmin^inl-^ "n <l<>ii n..mm'r 'r-iinei' (t'o// ^], I). La dé-
Exemples :
abc a.b^c, a.biC,
= nbi
THÉORIF nns nitTEr.MINANTS.
rt, b.
(tbiC. — nb,t\ -t- «, bjC — rt, ir. + a, bt\ — a-^b^c.
ch
ch
' abiC^cL, — ab,c,di +fib,c,cl, — ab^c^di + ab,c,d, — ab,c,(/,
I — «, bcjdj -f- rt, bc, d, -+- rt, b.cd, — a, b^c^ d— a, b^cd, -4- a.b^c.d
I ^a,bc,d, — a,bc,d, — a.b.cd, + n,b,C:d-\- n,b:,cd, —a.b.c^ti
— <7, bc, d, 4- a^ bcjd, -+- a, b,cd, — n ,b,c,d — n^ b.cd.-^-a^ b-^c, d.
3. Les termes d'un déterminant peuvent aussi se déduire du premier ternie, en permutant les premiers indices et laissant invariables les rangs des seconds indices. Si 1 on désigne, en effet, par Ai /.,. . . A„ une pcrmutalioii quelconque des indices 12... «, alors «i,/!^^*^^^. . • ^^,,,/t^ exprimera un terme quelconque du déterminant. Or ce terme se déduit du premier terme «1,1^2, 2- • • «,.,,. soit en rempla- ^ çant les seconds indices 1,2,...,// respectivement par A, ,A,, , . . ,/lr„, soit encore en remplaçant, dans la série des premiers indices^ A, par i, h^ par 3, . . . , /„ par //. On a, dans les deux cas, à effectuer le même nombre d'échanges des indices deux à deux, et par suite le lornie déduit par le second procédé obtient le même signe cpie par le premier procédé. Par exemple, de
//, , n^ rt,,,i «i.t '^i.i ^i-.t.^
noiniiiaCion de dciui minant , iiilroduilc pai Cauchy, a Ole cnijuiinloo à des àoniuios t'onnces d'apros la loi ci-dessus, que Gauss ( Disquis. aiilh.] a nommées dcteiminanti dcs/oniics (juadiatiiiurs. Depuis, Cauchyîj( t'rtvciccj </<• iMatlif'matiqiirs , Exercices dAnaljse) a substitue au nom de dclei minant relui Ad Jnnclion alirincr, et aussi l'expression de n'utUnnie employée par Lapldce { voir Ji I, 2],
<0 PREMIERE r.VRlll , ^ 11.
on déduit
«1,3 «2,2 rt.,,1 «4,1 «.s,,i «c;.!,
en remplaçant les seconds indices 1,2,3,4,5,6 par 3, 2, 1,4, 6, 5. Mais le même terme peut aussi se tirer du premier terme , en remplaçant les premiers indices 3,2,1,4,6,5 respectivement par 1,2,3,4,5,6. Par le premier procédé comme par le second^ il y a toujours quatre indices remplacés par d'autres, et dans les deux cas le terme déduit reçoit le même sisne.
Deux systèmes dont l'un a pour lignes verlicales les lignes horizontales deFautre (et vice i^ersâ) ^
««,1 ««,■>••• «/,.« ■ «i,H «2,n--- On.n,
ont le même déterminant 2 ± rZ]^, «2,2- • • <?/,,»• Car chaque terme de l'un des déterminants se trouve dans l'autre avec le même signe.
4. Théorème. — Un déterminant change de signe loisque, dans le système de ses éléments, on échange une ligne (horizon laie ou verticale) avec une ligne parallèle. Un déterminants évanouit identiquement lorsque les éléments d'une ligne sont égaux, chacun à chacun et dans le même ordre, aux éléments d'une ligne parallèle (*).
Dénionsi ration. — Soient R le déterminant donné, R' le déterminant qu'on en déduit par l'échange de deux lignes parallèles d'éléments; R' contiendra les mêmes termes que R avec des signes contraires. Car le premier terme de R'
(*) 1. AD, ACE, Histoire de l'Acad/mir de Pnris, 177''; t. H, p. ■.(97, — Vander- MOXDE, ihid.. p. .'Î18 cl r»22.
THLOUIE DES DÉTEUMINAM S. 1 i
se déduit du premier lernio de R par rechange de deux des premiers ou do deux des seconds indices-, il se trouve donc dans R avec le sigue contraire. Tous les autres termes de R', qui se déduisent de son premier terme au moyen d'un nombre impair (ou pair) d'échanges de termes deux à deux, résulteront du premier terme de R au moyen d'un nombre pair ( ou impair) de ces échanges. Donc tous les termes de R' se trouvent dans R avec le signe contraire, eVst-à-dire qu'on a R' = — R,
Si les éléments qui composent les deux lignes parallèles sont respectivement égaux dans le même ordre, alors, par l'échange de ces deux lignes, R se changera en — R : or le système des éléments n'est pas altéré par cet échange, et par suite — R = R : donc R = o, quelles que soient les valeurs des éléments.
Par exemple, on a
(^i.î^i.i «1,3 • • • fii.n
fi2,-,n.^n,,; . . . rt.^„
fl'.t «-',3- • «2.« ^'2,f fl,,,! «H, 3- ■ • ^'n.H «H,l
Cl':,,,. . . (l ,„ r^, ,
(l„-, . . . (■/„,„ rt„.,
(Il , rt;,2. . . <'/...„
'^2,1 f';. ■ ■ fij.n
l'^ii gén(''rnl, si /, /.,/,..., ■\\i\^\ que /, v. /, . . . , (I(■•^iJ;n(•|l(
12 l>UEMli,UE VAllTIli, ^11
dos jieiUiUlcUioiis clouiu'cs dv i , y , . . . , //, on a
Ok.v "/,■.,. Clij.
^/,r Ol,, (ll.t-
(ll.i <>l.k "il-
£ désij^nant runilé [)ositivc ou négative, suivant c|ue les permutations données appartiennent ou non à la même classe.
5. Thégrîîme. — Si les éléments d'une certaine ligne du système s'évanouissent tous à l'exception d'un seul, le déterminant du système donné se réduit au produit de l'élément en question par un déterminant d'un degré moindre d'une unité (*).
Démonstration. — Soit
rt , , . . . a.
fin 'I„,n
Cl suj>posons que parmi les éléments
<7,^< soit le seul diflerent de zéro. Prenons, dans le système donné, la i""" ligne lioiizontale d'éléments pour en faire la [)remièi(' ligne hoiizonlale, cl la k"'""' ligne verticale pour en faire la première ligne verticale, de sorte que, par (/ — I )-f- (A— i) changements de signe (4), R se change
(*) jAtOCl, />(■/.,
THÉORIE DES DÉTERMINANTS
«-,* ",,l • • ■ll,,k-\ <',.<4-l . . (I,.
où £ = ( — 1)'+'. Pai' hypothèse, les termes de sR dans lesquels le premier des seconds indices est différent de k, s"évanouisscnt. Donc sR se réduit aux termes qui se déduisent du terme principal
par la permutation des seconds indices i, 2, . . . , / — i, A + 1, ..,,«, à l'exclusion de A"^ c'est-à-dire, aux termes d'un déterminant de degré ?i — i (2), multipliés par le
facteur «, /. Ainsi
e ayant la signification indiquée ci-dessus. Exemples : * '
a, fi; a. n.
c, C2 Tj r, O O f/^ o
-cr
PREMIÈIIE PARTIE
et
o i, b-i bi
O C, Tj C;.
6. Il s'ensuit réciproquement que tout déteiminant peut être mis sous la forme d'un déterminant d'un degré plus élevé. Par exemple,
• (tn.n
et ainsi de suite. Les éléments
I ^11+1,11+1 ^ii+i,
"n+Un >
qui ne se trouvaient pas dans le développement du déterminant primitif, pourront recevoir des valeurs arbitraires quelconques, et par conséquent on pourra aussi les supposer nuls.
7. Lorsque tous les éléments situés d'un même côté de la diagonale s'évanouissent, le déterminant du système se réduit à son terme principal.
ihr.
= (II
• -On,!
etc...[5j
IHÉORIE DES UÉTERMIISANTS. l5
^ m. — Dci termes clan déterminant urdonnc suivant les éléments d une même liane.
1. Théorème. — Eu désignant par i et  deux indices quelconques de la suite i , 2, . . . , « ; par R le déterniinani 2 zL rti^i «2^2 . . .a„^„^ par a,^^ le coefficient de a,^^ dans R. c'est-à-dire par a^^^ a,^^ la somme des termes de R ijui renferment l'élément a,^^ : les sommes
«i,i ai,* -+- ai,i 'M,k -r • • . -h "«,, 'J-n.k >
auront pour valeur R ou zéro, suivant que i et A seront égaux ou inégaux (*).
Démonstration . — Chaque terme de R contient l'un quelconque des éléments
qui forment la i'''"" ligne horizontale, cl n'en contient qu un. Par hypothèse, a,^i or,^i est la somme des termes de R où. se trouve l'élément «,,,, et ainsi de suite. Donc
R = (7,^, a,-,, + «1.2 ^i,i 4- ... H- «,-,„ y.,\n . On trouve de la même manière 1 identité
R = fl,., a, ., + a,,,- a..,,- -f- . . -\- a„.i y-n., • Si 1 on v fait
a,,, =: rt^,, , (7,,;= r//^,, .
bien
(*) CnAMER, loc. cit. — Calciiy, toc. cil., p. G6. — Jacoiu, DcI.Ak Les iiloiititfs quirésullcntde ce Ihéorènie pour le cas de n=3, se Iroiivoiit dans La^raiig.-, Sur les Pyramides, 7 ( Mémoires Je l'Acadcmic de Berlin, i--/.',
l(j PREMIÈRE PARUE, ^ 111.
OU oblit'iit des sommes qui équivalent aux délerminauls de systèmes où les éléments d'une ligne sont respeetivement égaux aux éléments d'une ligne parallèle. Or ces déterminants s'évanouissent identiquemcnl (§ II, ^)-
2. Pour multiplier un déterminant par un facteur, on multiplie par ce facteur tous les éléments d'une même ligne. Réciproquement, on peut placer devant le déterminant lui-même tout facteur commun aux éléments d'une môme ligne. Ainsi
pn b c
pa f)b pi
rzL-
pay b^ r.
pa, h, r.
C'est ce qu'on rend évident, eu mettant le déterminant sous la formera -f- a^a^ -^-a^a^, ou sous la forme aoc -\- h{6 -\- cy. On a encore
abc
ah
3. Si tous les éléments d'une même ligne sont composés chacun de m termes, alors le déterminant peut se décomposer en une somme de m délerminanls. Si l'on sup- \iose
fJi.i = l>i + Vï -H ^1 -+■••• , ('i.2 = l'2 + '/:•+ r. H- . . . ,
THÉORIE DES DÉTERMINANTS
on aura
R = fl.A y-i.x + «,.î y..,2 + . . . -f- Uin rj., n
= p^ y-iA + Pi y-i.i + ...+/>„ '/.,,„
Les divers déterminants dans les([uels R se décompose, sont formés de R en y remplaçant les éléments
par leurs parties respectives
, etc.
On a
, par exemple,
ri a.
4. La valeur d un déterminant n'est pas altérée, lorsqu'on ajoute aux éléments d'une même ligne respectivement les éléments d'une ligne parallèle, multipliés par un facteur commun (*) : ainsi
bn
(roi>'3et2), et le second déterminant est identiquement nul dans cette expression (§ II, -4).
(*) Jacobi, Journal de Ciellc, t. XXII, p. '.^71,
FUEMIÈRE PARTIE, § TH.
Exemples
Ji
«, Ji — ^
rt, Vï — b
5. Détermination du coefficient a,^/, gui multiplie l'élément a^^f, dans le déterminant R. — Pour ne conserver que les termes de R qui renferment «,,< •, supposons nuls tous les éléments d'une des lignes^ qui contiennent a,^^, à l'exception de rt,^^ lui-même. Substituons ensuite l'unité à la place de a,^/ , et nous trouverons le coefficient cherclié.
"/,,/-! <ln,h (^z-J+i • . • '''„,,
expression qui peut se mettre sous la forme'^d'un déterminant du degré n — i (§11, 5). Si l'on prend la z'""Mignc horizontale pour première ligne horizontale, et la A'^""^ ligne verticale pour première ligne verticale, il se produit alors (/ — i) -j- (A — i) changements de signe dans a,^i (§ IT , I) , et Ton a par conséquent
«iJ-
THÉORIE DES DltTERMXA ANTS . IQ
Par un prorédé analogue, on déduit de R le coefficient qui multiplie dans R le produit «,^^ «,.,, en remplaçant a,,< et a,.,, par lunité, et mettant zéro à la place de tous les autres éléments contenus dans les lignes qui se coupent en Oj^i et en a,.^,. Ce coefficient se réduit à un déterminant du degré n — i\ et ainsi de suite.
6. Détermination de a,;; par les permutations circulaires. — Pour déduire de R un autre déterminant, égal en valeur absolue, et dont le premier élément soit <?, ^, en se servant de permutations circulaires, il suffit d'effectuer successivement / — i permutations circulaires des lignes horizontales, et k — i permutations circulaires des lignes verticales, ce qui introduit
changements de signe (§1, o). On a par conséquent (5)
au=(-l)("-')"-^'-^
fli+,,l,+ , • . . «,-ui.n «
Dans les déterminants de degré impair, les coefficients a.,^^ peuvent se déduire de «j^i par des permutations circulaires, sans changement de signe. On a, d'après cela, pour la. formation des déterminants par voie récurrente,
biC^
a.h^Ci
et
VWVMX'V.WV. T'ARTir, ^ III.
7. Déterniination de a.,^^ par la différent ialion. — Si les élémentsd'un système sont indépendants les uns des autres, il suffit, pour diflérentier R par rapport à «,,;;, de considérer seulement la somme a^j, (x,^i. Or a,^;, est indépendant de <7,jr ; par conséquent
Le coefficient de a,^i dans R peut donc s'exprimer par le quotient difTcrentiel partiel
dK
duij,
Le coefficient de a,,/r a,.^, dans R entre dans a,^^ comme coefficient de a,.,,, et peut en consécpience s'exprimer eu différentiant a, / par rapport à a,.^, , ce qui donne
De ce coefficient ou peut déduire celui de a,.^i^ a-^^, dans K, en écliangeaut entre eux les premiers indices i et /', c'està-dire en échangeant la i"'""' ligne horizontale du système donné avec la r''""'' . Par là, R subit un changement de
(*) Jac.obi, Dci., (j.
(** ) Jacobi. Dct., 10.
•llir.OUn, l)l> DlVl KIIMIKAJSTS.
signe ^ ou a donc, pour le cDcnicienl clierclu' ,
r/<7r,/! (i^li.s
drti it da,. ,
Ou déleriiiiiicra d'une manière analogue le coellicienl de rt,^/; a,.^, fl„ ,, dans R. On trouve en même temps des relations entre les troisièmes dérivées partielles de R. Ft ainsi de suite.
8. Si les élénienls du système, qui portent les mènu-s indices dans l'oidre inverse, tels que o,^i et rt^^, , dépendent l'un de l'autre, il en est de même aussi des déterminants de deffié tn .
n,r (lis flij , "k.r flL< flk,t.
(II., (Il,s fll.t'
"r,i II,, h flr,ll^s.i Ils./. Ils./- I'l,i l'i.h ft,J.
dont 1 un se forme au moyen de l'autre en permutant la suite des premiers indices avec celle des seconds.
