I. Si, en particulier, «/;,, = (h,k': alors on a Q= I*, car

flr.i «V,, dl.i ■ • fl,,k IlsJi f>t.k- •

flr.l <h.l (h,l- ■

"r.i (l,-.k (IrJ.

fi,.i n^.k Os.i.

(ii.i (ii.k fh.i-

§ II, 3

11. Si l'on a <7/,,, = — <7,-^^ , a,^, =:= o , alors Q= ( — i)'''l*. En etï'el, en multipliant chaque ligne verticale de P par — i , et par suite (2) P i>ar ( — i)'", il vient

-iV"P

IJ,.i fis,, lit.,f'i.k Hs.k (ll.k- (lv,l ll<.,l fll.t-

ll,.i (l,,k (l,.l-

lls.i (If.k lls.l-

<h.i "i.k iii.l ■

:ui, 3]

22 PREMIEUE PARTIE, ^ III.

Si la sviile des indices r, ,î, /,. . . est une permutation des indices /, A, /, ... et que ni soit impair, alors Q est, non-seulement = — P, mais aussi = + P (§ II, -i), et, par suite, le déterminant est identiquement nul.

9. Théorème. — En désignant, comme ci-dessus, par R le déterminant

et par a,,^ le coefficient de «,-^< dans R, on a, dans l'hypothèse de Oi,^i = «,^/ ,

a (lai k clK

Au contraire, on a, dans riiypolhèse de a^^,- = — <7,^j( cl de <7,^, =: o ,

et par suite, pour n pair,

et pour n impair,

Démonstration. — Les propositions énoncées relativement à R et à a,,^ résultent des propriétés de P et de Q trouvées dans l'article précédent (^'o//•6). On a de plus,

(*) Jacobi, Journal de Ci clic, t. XII, p. ao. (**) Jacoiu, Journal de C relie, t M, p. ?rôf\.

nironiK dks détermiûmvis. ^3

eu veilu (k- ia dépendance rntrc les éléiuculs concspuiidaiits a,^i et ^//.,, (7) ,

fio,,i. 'la,,!,

Mais, d'après la première hypothèse, on a

et par suite

En vertu de la seconde hypothèse, on a

tint,,,

et par suite (7)

—. — = 'J-i.k — «<.(• ilai.i,

Pour n pair, — ai., = a,,< ; par t ouséqucnl

dK daij,

Pour n impair, s évanouit i(lcmK|iu'nH'nt, comme K

dfii k

lui-même, et l'équation

= a,./, — uk,,

da, , donne le résultat déjà obtenu , a,,< = a/,, .

10. DiffércnticUe d'un déterminant. — Si tous les éléments du système doivent être considérés comme des variables indépendantes, alors, en vertu de léqnation (7)

do, k