A, A,A,AO
En développant ce déterminant d'après le § V, 2, on letrouvela formule connue, donnée par Euler [Nov. Conini. PetrofK, t. IV, p. i58) pour le calcul du volume du télraèdre en fonction des arêtes.
La condition pour que les points Aj, A2. A3, A,, soient dans un même plan sera
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c 1 équation entre les distances mutuelles de quatre poinls cFun môme plan (Euler, ylcta Peirop., 6, I, p. 3.) ^
CoKOLLAïuE II. — Un polyèdre étant donné, onpeut, au iuoyen des droites tirées d'un sommet Ai vers les autres sommets A2, A3, A4, ... , et des plans qui comprennent ces droites prises convenablement deux à deux, le décomposer en pyramides triangulaires, ayant pour sommet commun A,, et pour bases des portions de la surface du polyèdre. Rangeons les systèmes de trois points, qui déterminent les bases dt; ces pyramides, dans un ordre tel, que
APPLICATIONS DES DÉXEll VUKANTS. 1W
toutes les portions de la surface du polyèdre, vues de dehors, soient de même sens. Alors les pyramides qui composent le polyèdre seront de même signe ou de signe contraire, suivant que leurs bases, vues du sommet A,, seront de même sens ou de sens contraire.
On peut d'après cela considérer le produit de deux polyèdies comme une somme de produits de tétraèdres pris deux à deux, et le mettre sous la forme d'une somme de déterminants du cinc[uième degré, tels que ceux que nous venons d'indiquer. Le produit de deux polyèdres est par conséquent une fonction rationnelle et entière des carrés des droites qui joignent les sommets de l'un des polyèdres avec ceux de l'autre, comme v. Staudt l'a remarqué.
