SECONDE PARTIE, § XVII

peclivomc'iii avec les points Aj , A-2 , A3 , on a cos <p = I , dj^h = r//^, , r/,, , = G , et par suite

i6fA, A,A;,V= —

ce qui coïncide avec Texpression connue de la surface d'un

triangle en fonction de ses côtés (§ V, 2).

La condition pour que A, , A2 , A3 soient en ligne droite

sera

I dy, (L, o

Pour une position qvielconque d'un point sur la droite qui passe par les deux autres points, il y a un des facteurs du déterminant qui s'évanouit.

Corollaire II. — La surface d'un quadrilatère plan

étant

A, Aï A3 A4 = A, A, A, -h A, A,, A4,

on a, pour doux quadrilatères plans, dont les plans font entre eux un angle (p, i6A,A,A,A,.B,BnB,B,.coS(p

16 A, A;, A, . B, B2 Bj . cos (p 4- 16 A, A2 A, . BiBj B, cos(f + 16 A' A:, A4 . B, B, B ; . ces cp 4- 16 A , A3 A( . B, B3 B^ . cos w

dn d,,

dr: d,,

> dy, d,,

> dy.

dn d,.

dy,

1 f/l3 'Al.

APPLICATIONS UliS DÉTEKMINAINTS. 2o5

Si donc A et B sont les surfaces de deux polygones plans de /n et de ii côtés, dont les plans font entre eux Tangle cp, AB cos (p sera la somme, prise négativement, de [m — 2) [n — 2) déterminants du quatrième degré et de la forme ci-dessus. Ce sera donc une fonction rationnelle et entière des carrés des droites qui joignent les sommets de l'un des polygones avec ceux de l'autre {*).

14. En désignant par d,^i^ le carré de la distance A,B/, . on a, pour deux tétraèdres,

sSSA.A^Aj A, B.BjBjB, =

les premiers indices se rapportant au premier tétraèdre, et les seconds indices au second tétraèdre.

Démonstration. — Le produit cherché est, par le n° 7, égal au déterminant

(In

dr:

(I,.^ J22 [du ^2

(l,3(/,3— fdu d.

cU-idu — d,

dii ^/33— (^1

d,-,— d^. — [du —d^,) ^3 — <^43 — (du — du)

r/|, — «Yj4 — [du — c/2,), f/ii — d^. — [du — «'31), d,, — d^^ — (r/,,— ^^41)

lequel peut se transformer, de la manière indiquée au n° 13, en

I, du — ^ji, du — c?3i , du — f/41

I, ^/,3 — r/ji, df3 — dy^, d,. — dy^

I, du — d^i, dt, — rffii , d,,, — d,,,,

I r/,^ rf,| c/,, du

I d,, dr, d,, d,,

1 f/in dn d-i.; ds,.i

(*) Von Staudt, loc . cit.

2()6 SKCUJNDK PAUTIE, ^ XVII.

CoROLLAïuE 1. — Si l'on fail coïncidor les points 13, , B-v , Bn , Bi i'es]>o(;li\(!menl avec Ai, Aa, A3, A^, on a

^n par vSiiite

dr.

(In

rlr.

''Ai